猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾就多吃了一个。第二天早上又将剩下的桃子吃了一半，还是不过瘾又多吃了一个。以后每天都吃前一天剩下的一半再加一个。到第 10 天刚好剩一个。问猴子第一天摘了多少个桃子？
分析: 这是一套非常经典的算法题，这个题目体现了算法思想中的递推思想，递归有两种形式，顺推和逆推，针对递推，只要我们找到递推公式，问题就迎刃而解了。
令S10=1，容易看出 S9=2(S10+1)， 简化一下
S9=2S10+2
S8=2S9+2
…
Sn=2Sn+1+2
用递归试一下：
class Program{static void Main(string[] args){int sum = SumPeach(1);Console.WriteLine("第一天摘得桃子有:{0}", sum);Console.Read();}//递归static int SumPeach(int day){if (day == 10)return 1;return 2 * SumPeach(day + 1) + 2;}}
当我们玩转递归的时候，老师说线性递归会将“变量，参数，返回值”在“递”的过程中压栈，如果迟迟“递”不到头的话，栈就会越积越多，最后就爆掉了，window 中系统默认的堆栈空间是 1M。
那么解决方法是什么？ 尾递归，下面我们继续上代码：
class Program{static void Main(string[] args){int sum = SumPeachTail(1, 1);Console.WriteLine("第一天摘得桃子有:{0}", sum);Console.Read();}//尾递归static int SumPeachTail(int day, int total){if (day == 10)return total;//将当前的值计算出传递给下一层return SumPeachTail(day + 1, 2 * total + 2);}}
那么两种递归有什么区别呢？
从图中我们可以清晰的看到“线性递归”和“尾递归”的区别，那到底有什么本质区别呢？尾递归中在每次向下递归的过程中，都会将当前层的结果计算出来后向下一层传递，从理论上说，传到下一层后，上一层的参数值已经没有存在的必要了，可以清除上一层中的变量占用的栈空间，那么最终达到的效果就是永远不会出现 StackOverflowException 了，但实际上是否真有这个效果，得要看编译程序是否真的给你优化了。
下面我们将 day=10 改成 day=int.MaxValue，跑一下程序看看：
很可惜，有图有真相，抛出异常了。
下一步我们就要计算一下这个递归的时间复杂度是多少，关于求“递归”的时间复杂度主要有三种：
- 代换法。
- 递归树法。
- 主定理。
这一篇我就说下代换法，作法如下
①：猜一下递归式复杂度的上界或者下界。
②：用数学归纳法证明你的复杂度是正确的。
为了具有通用性，我们将“猴子吃桃”的问题反过来写，也就是已知 S1，求 S10，当然原理是一样的，通用公式就有如下形式：
Tn=2Tn-1+2 ①
假使 Tn=O(n) ②
则必定存在一个 c>0 的自然数使
Tn<=cO(n)=cn ③
③ 代入 ① 知
Tn<=2c(n-1)+2=2cn-2c+2
=cn-c+1
=cn-(c-1)
当 c>=1 时，则必有 Tn<=cn
最后得出递归式的时间复杂度为 O(N)。
