正文

**李雅普诺夫函数（Lyapunov function）**是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数。其名称来自俄罗斯数学家亚历山大·李雅普诺夫（Александр Михайлович Ляпунов）。李雅普诺夫函数在稳定性理论及控制理论中相当重要。

若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性，此函数称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov-candidate-function）。不过目前还找不到一般性的方式可建构（或找到）一个系统的李雅普诺夫候选函数，而找不到李雅普诺夫函数也不代表此系统不稳定。在动力系统中，有时会利用守恒律来建构李雅普诺夫候选函数。

针对自治系统的李雅普诺夫定理，直接使用李雅普诺夫候选函数的特性。在寻找一个系统平衡点附近的稳定性时，此定理是很有效的工具。不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充分条件，不是必要条件。而寻找李雅普诺夫函数也需要碰运气，通常会用试误法（trial and error）来寻找李雅普诺夫函数。

定义

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令

为标量函数。
若要 V 为李雅普诺夫候选函数，函数 V 需为局部正定函数，亦即

其中 U 是 x = 0 的邻域。

对定义中出现的术语的进一步讨论

Basic Lyapunov theorems for autonomous systems 自治系统的基本李雅普诺夫定理

Locally asymptotically stable equilibrium 局部渐近稳定平衡

Stable equilibrium 稳定平衡

Globally asymptotically stable equilibrium 全局渐近稳定平衡

例子

参考资料

https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_function
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%8E%E4%BA%9E%E6%99%AE%E8%AB%BE%E5%A4%AB%E5%87%BD%E6%95%B8