Unit1_3：分治算法之排序问题

文章目录

一、归并排序
二、快速排序
- 思路
- 伪代码
- 流程图
- 时间复杂度
- 改进
三、堆排序
- 结构
- 插入
- 提取最小值
- 排序
- 抽象
四、比较排序总结
- 决策树模型

一、归并排序

归并排序子操作的思路和Unit1_2逆序计算一样
下面写一下伪代码

if left < right thencenter←L(left + right)/2];Mergesort(A, left, center);Mergesort(A, center+1, right);“Merge” the two sorted arrays;（逆序中的排序思路）
end
else return A[left]

时间复杂度：

$T(n)=\left\{ \begin{array}{ll} 2T(\frac{n}{2})+n & if \space n>1 \\ 1 & if \space n=1 \nonumber \end{array} \right.$
在第一节时提及三种计算方式，最后得出复杂度为 $O (n l o g n)$

二、快速排序

c语言中的qsort。

思路

每次分成两份，使得 $A [u] < A [q] < A [v]$ $f or$ $an y$ $p \leq u \leq q - 1$ $an d$ $q + 1 + \leq v \leq r$
在这里插入图片描述
x称为主元。
下面看思路图：
起始位置， $i = - 1, j = 0, p = 0$

$A [j] < A [r]$ 时， $i$ ++, $A [i] = A [j]$ , $j$ ++

下一个 $A [j] > A [r]$ , $j$ ++,下一个亦如此

走到 $A [j] = 1$ ,即 $A [j] < A [r]$ ，应 $i$ ++, $A [i] = A [j]$ , $j$ ++
在这里插入图片描述
最终j=r时停止

在这里插入图片描述
将 $A [i + 1]$ 与 $A [r]$ 调换

伪代码

Partition(A,p,r)
x ← A[r];  //A[r] is the pivot element
i ← p-1;
for j←p to r-1 doif A[j]≤x theni ← i+1;exchange A[i] and A[j];end
end
exchangeA[i+1] and A[r];//Put pivot in position
return i+1;      //q ← i+1

这个子操作的时间复杂度为 $O (r - p)$
整个快速排序

Quicksort(A,p,r)
if p<r thenq ← Partition(A,p, r);Quicksort(A,P,q-1);Quicksort(A,q+1,r);
end
return A;

流程图

在这里插入图片描述

时间复杂度

若总是能将数组分成两半：

$T(n)=\left\{ \begin{array}{ll} 2T(\frac{n}{2})+n & if \space n>1 \\ 1 & if \space n=1 \nonumber \end{array} \right.$

$T (n) = O (n l o g n)$

若最坏情况碰到不平衡分区：

$T(n)=\left\{ \begin{array}{ll} T(n-1)+n & if \space n>1 \\ 1 & if \space n=1 \nonumber \end{array} \right.$

$T(n)=O(n^2)$

改进

为了增加算法稳定性，主元采取随机选取的策略：
设 $r an d o m (p, r)$ 是一个伪随机数生成器，它返回 $p$ 和 $r$ 之间的随机数。
改进算法的时间复杂度计算不难，这里不多赘述，这里用到指标变量。
在这里插入图片描述

三、堆排序

结构

堆本质上就是完全二叉树。除了最低层，所有层都满了。如果最低层未满，则必须将节点打包到左侧。
大顶堆满足父节点值比子节点大,小顶堆满足父节点值比子节点小。
在这里插入图片描述
若有 $n$ 个元素,则树的高度 $h=log_2n$ ,每次操作一层,则操作的时间复杂度为 $O (l o g n)$
这种结构可以用数组表示(因为节点都是填满的):
    根节点位于数组位置1
    对于数组位置i中的任何元素
        左子结点位于 $2 i$ 位置。
        右子结点位于 $2 i + 1$ 位置。
        父节点位于位置 $\frac{i}{2}$
在这里插入图片描述

插入

将新元素添加到最低级别的下一个可用位置,如果违反则恢复最小堆属性
一般策略是向上渗透(或向上冒泡):如果元素的父元素大于元素，则将父元素与子元素交换。
在这里插入图片描述
插入的时间复杂度:最坏情况下就是树的高度,因此 $T (n) = O (l o g n)$

提取最小值

将根节点值拿走后,将最后一个元素复制到根(即覆盖存储在那里的最小元素)
在这里插入图片描述
通过向下渗透(或向下冒泡)恢复min-heap属性:如果元素比它的任何一个子元素都大，那么将它与它的子元素中较小的元素交换

排序

最小元素位于堆的顶部,每次都提取根节点的最小值,然后按上述步骤恢复小顶堆的性质,重复此操作,因为有 $n$ 个元素,因此时间复杂度 $T (n) = n O (l o g n) = O (n l o g n)$
但排序的前提是要现有一个小顶堆,因此从根节点开始根据小顶堆的性质进行替换
在这里插入图片描述