数据结构-二叉树·堆（顺序结构的实现）

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本篇文章对 树的相关概念及结构，二叉树（堆）的概念及结构，二叉树顺序结构及实现的相关知识详细讲解！二叉树链式结构 在下一章讲解！

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一.树的概念及结构

1.1树的概念

一.树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由k个节点（k>=0）组成的具有层次关系的一个集合，如图一所示，把上图倒过来，如图二所示，看起来像一棵树，所以被叫作树；

类似于树的特点，把最上面的那个结点（A）叫作根结点；

除了根结点，其余的结点又可以分为若干个类似于树的子树，如下图：

所以树是递归定义的；

1.2树的表示

最常见的是孩子兄弟表示法

双亲表示法（一般使用结构体数组）：只存储双亲的下标或指针；

例如：

上面这个树用双亲表示法表示：

蓝色：存储的该结点的父结点的下标或指针；

没有父亲就存储-1（-1不是个有效的下标）；

二.二叉树的概念及结构

2.1二叉树的概念

二叉树：

1.不存在度大于2的结点的树；最多两个，可以是1个或则0个；

度为0（空树）；

2.二叉树的子树有左右子树之分，次序不能颠倒，所以二叉树是有序的；

2.2两个特殊的二叉树

满二叉树：

一个二叉树，如果每一层的结点数都达到最大值，这个数就是满二叉树；

假设一个满二叉树有h层，则该二叉树的总的结点为2^h-1;

完全二叉树：

是一个深度为k的有n个节点的二叉树，对树中的节点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i1≤i≤n的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同；

三.二叉树顺序结构及实现

3.1二叉树顺序结构

根据完全二叉树的特点，可以得出这样的结论：

如果完全二叉树用数组存储，那么可以得到任意一个父结点，可以通过下标找到孩子，通过孩子下标也可以找到父结点的下标；

规律如下：

liftchild = perent*2+1；

rightchild = parent*2+2；

parent = (child-1)/2;

堆在存储的分类：大根堆，小根堆

3.2二叉树（堆）顺序结构的实现

这里重点分析向上/向下调整的函数

向上调整：

思想：将插入的数据尾插到数组里面，根据父结点与孩子结点下标的关系向上比较做调整，如果父亲结点的数据大于（小于）孩子结点，就交换：如图:

实现代码：

//交换函数
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{HPDataType tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}//向上调整
void Adjustup(HPDataType* a, int child)
{assert(a);int parent = (child - 1) / 2;while (child>0){if (a[parent] > a[child]){Swap(&a[parent], &a[child]);child = parent;parent = (parent - 1) / 2;}else{break;}}
}

向下调整：

思想：如果我们要删除堆顶（根）的结点，如果直接删除，然后向前覆盖，堆的顺序就会改变，不再是大堆（小堆），如图，这里就需要用到向下调整，先将最后一个数据与第一个数据交换，再将最后一个数据删除，这样保证了除了根，下面的结点都是大堆（小堆）；

然后再用根和两个孩子中较小的一个交换，一次向下重复以上动作，图解如下：

实现代码：

//向下调整
void Adjustdown(HPDataType* a, int parent,int n)
{assert(a);int child = parent * 2 + 1;while (child<n){//假设左孩子小if (child+1<n && a[child] > a[child + 1])   //假设错误，修正{child = child + 1;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = child * 2 + 1;}else{break;}}
}

完整代码：Heap.h Heap.c

Heap.h

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>
#include<string.h>#define HPDataType inttypedef struct Heap
{//存储数据的数组HPDataType* a;int size;int capacity;
}Heap;//初始化函数，两种
//先不开空间，使用的时候再开
void HeapInit(Heap* php);
//已经有一个数组的数据，先开空间，把一个数组的数据放到堆数组里面
void HeapInitArray(Heap* php,int* a,int n);//摧毁函数，防止内存泄露
void HeapDestory(Heap* php);
//打印函数
void HeapPrintf(Heap* php);//向上调整函数
void Adjustup(HPDataType* a, int child);
//向下调整函数
void Adjustdown(HPDataType* a, int child,int n);//向堆里面插入数据的函数
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x);
//把堆里面的根结点Pop出去的函数
void HeapPop(Heap* php);//取出根结点数据的函数
HPDataType HeapTop(Heap* php);//判断堆是否为空的函数
bool HeapEmpty(Heap* php);

Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"void HeapInit(Heap* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->capacity = 0;php->size = 0;}void HeapInitArray(Heap* php,int* a,int n)
{assert(a);assert(php);php->a = (HPDataType*)malloc( n * sizeof(int));if (php->a == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}memcpy(php->a, a, n * sizeof(int));//向上调整建堆for (int i = 1; i < n; i++){Adjustup(php->a, i);}php->size = n;php->capacity = n;
}void HeapDestory(Heap* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->capacity = php->size = 0;}void HeapPrintf(Heap* php)
{assert(php);for (int i = 0; i < php->size; i++){printf("%d ",php->a[i]);}printf("\n");
}//交换函数
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{HPDataType tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}//向上调整函数
void Adjustup(HPDataType* a, int child)
{assert(a);int parent = (child - 1) / 2;while (child>0){if (a[parent] > a[child]){Swap(&a[parent], &a[child]);child = parent;parent = (parent - 1) / 2;}else{break;}}
}//向下调整函数
void Adjustdown(HPDataType* a, int parent,int n)
{assert(a);int child = parent * 2 + 1;while (child<n){//假设左孩子小if (child+1<n && a[child] > a[child + 1]){child = child + 1;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = child * 2 + 1;}else{break;}}
}//插入函数
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x)
{assert(php);if (php->capacity == php->size){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");exit(-1);}php->a=tmp;php->capacity = newcapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;Adjustup(php->a,php->size-1);
}//删除堆顶结点
void HeapPop(Heap* php)
{assert(php);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;Adjustdown(php->a, 0,php->size);}//取出堆顶数据的函数
HPDataType HeapTop(Heap* php)
{assert(php);return php->a[0];
}//判空函数
bool HeapEmpty(Heap* php)
{assert(php);return php->size;
}