算法学习打卡day38|动态规划初探、509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯

动态规划

  • 什么是动态规划?

    • 如果某一问题有很多重叠子问题,使用动态规划是最有效的。
    • 动态规划问题中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的,这一点就区分于贪心,贪心没有状态推导,而是从局部直接选最优的。
  • 做题方法论:

    • 动态规划问题做题大致分如下五个步骤
      1. 分析好dp数组代表什么,dp[ i ]种的 i 代表什么
      2. 分析 dp 推导式
      3. 根据dp推导式,初始化dp数组
      4. 确定遍历顺序,从前往后还是从后往前,从哪个元素开始遍历。
      5. 根据dp数组输出,判断是否符合预期
    • 常用debug方法:就是直接把遍历过程中dp数组打印出来,和自己手动推导的是否一样,一样就可能是推导式的问题,不一样可能是代码实现的问题了。

509. 斐波那契数

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题目描述:
斐波那契数 (通常用 F(n) 表示)形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是:
F(0) = 0,F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2),其中 n > 1
给定 n ,请计算 F(n) 。

示例 1
输入:n = 2
输出:1
解释:F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

思路:

  • 这道题很简单,直接上五部曲:
    1. dp数组代表第 i 个位置的数字是多少
    2. 确定推导式:题目已经给出来了,dp [ i ] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    3. dp数组初始化:dp[0] = 0, dp[1] = 1;
    4. 遍历顺序:显然是从前往后遍历,i从2开始
    5. 手动推导一部分序列,以便查看结果是否正确:0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

代码实现

int fib(int n) {if (n < 2)  return n;int dp[2];dp[0] = 0, dp[1] = 1;int N = 0;for (int i = 2; i <= n; ++i) {N = dp[0] + dp[1];dp[0] = dp[1];dp[1] = N;}return N;}

70. 爬楼梯

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题目描述:
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

示例 1
输入:n = 2
输出:2
解释:有两种方法可以爬到楼顶:1 阶 + 1 阶、2 阶

示例 2
输入:n = 3
输出:3
解释:有三种方法可以爬到楼顶:1 阶 + 1 阶 + 1 阶、1 阶 + 2 阶、2 阶 + 1 阶

思路:

  • 这道题和斐波那契数列几乎一样,只不过需要自己分析出dp表达树。
  • 直接上五部曲:
    1. dp数组代表走到第 i 层有几种路径
    2. 确定推导式:推导式也很好分析,第 i 层可以由第i - 1层走一步或者第 i - 2层走两步达到,所以有推导式:dp [ i ] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    3. dp数组初始化:dp[0] = 0, dp[1] = 1,dp[2] = 2;这里第0层因为没走嘛,所以初始化为0,然后从i = 3开始遍历
    4. 遍历顺序:显然也是从前往后遍历,i从3开始
    5. 手动推导一部分序列,以便查看结果是否正确:0 1 2 3 5 8 13…

代码实现

int climbStairs(int n) {if (n <= 2)  return n;int dp[3];dp[1] = 1, dp[2] = 2;int N = 0;for (int i = 3; i <= n; i++) {N = dp[1] + dp[2];dp[1] = dp[2];dp[2] = N;}return N;}

746. 使用最小花费爬楼梯

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题目描述:
给你一个整数数组 cost ,其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用,即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1:
输入:cost = [10,15,20]
输出:15
解释:你将从下标为 1 的台阶开始。

  • 支付 15 ,向上爬两个台阶,到达楼梯顶部。
    总花费为 15 。

思路:

  • 这道题和上题略有不同,这道题不是求总路径而是求最短路径,那么应该是dp[i - 1] 和dp[i - 2]两个位置到当前层的最小花销才对,这样就很简单了,直接取最小值即可。
  • 动态规划五部曲:
    1. dp数组代表走到第 i 层的最小花费
    2. 确定推导式:推导式也很好分析,第 i 层可以由第i - 1层走一步或者第 i - 2层走两步达到,每次取两者最小值即可,所以有推导式:dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
    3. dp数组初始化:dp[0] = 0, dp[1] = 0;这里题目规定可以从第0层和第1层开始走,那么这两层直接初始化为0.
    4. 遍历顺序:显然也是从前往后遍历,i从2开始,因为从第二层开始就已经开始花钱了!
    5. 手动推导一部分序列,以便查看结果是否正确:0 0 10 15

代码实现

int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {//dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);int size = cost.size();vector<int> dp(size + 1, 0);for (int i = 2; i <= size; ++i) {dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);}return dp[size];}
  • 难点:感觉动态规划难点就在于表达式的分析,表达式分析出来后,dp数组初始化和遍历顺序和起始位置把握好,基本能做出来,仔细分析,不要着急写代码,按照五部曲来!!!

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