2024线性代数复习——矩阵代数

相似矩阵:存在可逆矩阵 P P P,使得 P − 1 A P = B P^{-1} A P=B P1AP=B,则称矩阵 A A A B B B 相似,特征值相等。注意只有相似矩阵 B B B 是对角阵,我们才说它是可以相似对角化的。

A A A 可以相似对角化 ⇔ 充要条件 \overset{充要条件}{\Leftrightarrow} 充要条件 A A A n n n 个线性无关的特征向量,且对角线的值就是特征值。

A A A 可以正交对角化 ⇔ 充要条件 \overset{充要条件}{\Leftrightarrow} 充要条件 A A A 是实对称矩阵。对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的,这就可以构造出单位正交基,满足 P T P^T PT= P − 1 P^{-1} P1

矩阵等价:对同型矩阵 A A A B B B,存在可逆阵 P P P Q Q Q,使得 B = P A Q B=PAQ B=PAQ

矩阵合同:对同型方阵 A A A B B B,存在可逆阵 P P P 使得 B = P A P T B=PAP^T B=PAPT

下面是为什么,初等行变换不改变矩阵秩的说明:


在这里插入图片描述

定义 R n \mathbb{R}^{n} Rn 中的一个子空间是 R n \mathbb{R}^{n} Rn 中的集合 H H H,具有以下三个性质:
a. 零向量属于 H H H.
b .对 H H H 中任意的向量 u \boldsymbol{u} u v \boldsymbol{v} v, 向量 u + v \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v} u+v 属于 H H H
c. 对 H H H 中任意向量 u \boldsymbol{u} u 和数 c c c, 向量 c u c\boldsymbol{u} cu 属于 H H H.

定义 矩阵 A A A 的列空间(记为 Col ⁡ A \operatorname{Col} A ColA)是 A A A 的各列的线性组合的集合。

A = [ a 1 ⋯ a n ] A=\left[\boldsymbol{a}_{1} \cdots \boldsymbol{a}_{n}\right] A=[a1an],它们各列属 则 和 相同。注意,仅当 的列生成时, Col A 等千贮.否则, Col A 仅是丁的一部分。

定义 矩阵 A A A 的零空间是齐次方程 A x = 0 A \boldsymbol{x}=\mathbf{0} Ax=0 的所有解的集合,记为 Nul ⁡ A \operatorname{Nul} A NulA .

定义 矩阵 A A A 的秩(记为 rank ⁡ A \operatorname{rank} A rankA)是 A A A 的列空间的维数。

max ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) \max \{R(A), R(B)\} \leq R(A, B) \leq R(A)+R(B) max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B)

R ( A + B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) R(A+B) \leq R(A)+R(B) R(A+B)R(A)+R(B)

r ( A ) + r ( B ) − n < = r ( A B ) < = min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(A)+r(B)-n<=r(A B)<=\min \{r(A), r(B)\} r(A)+r(B)n<=r(AB)<=min{r(A),r(B)}

公式的证明可以参考高等代数(北大版)第五版第四章,附加题第10题,学习网址。

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A B = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] [ β 1 β 2 ⋮ β n ] = [ a 11 β 1 + a 12 β 2 + ⋯ + a 1 n β n a 21 β 1 + a 22 β 2 + ⋯ + a 2 n β n ⋮ a m 1 β 1 + a m 2 β 2 + ⋯ + a m n β n ] = [ γ 1 γ 2 ⋮ γ m ] \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{\beta}_{1} \\ \boldsymbol{\beta}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{\beta}_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} a_{11} \boldsymbol{\beta}_{1}+a_{12} \boldsymbol{\beta}_{2}+\cdots+a_{1 n} \boldsymbol{\beta}_{n} \\ a_{21} \boldsymbol{\beta}_{1}+a_{22} \boldsymbol{\beta}_{2}+\cdots+a_{2 n} \boldsymbol{\beta}_{n} \\ \vdots \\ a_{m 1} \boldsymbol{\beta}_{1}+a_{m 2} \boldsymbol{\beta}_{2}+\cdots+a_{m n} \boldsymbol{\beta}_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{\gamma}_{1} \\ \boldsymbol{\gamma}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{\gamma}_{m} \end{array}\right] AB= a11a21am1a12a22am2a1na2namn β1β2βn = a11β1+a12β2++a1nβna21β1+a22β2++a2nβnam1β1+am2β2++amnβn = γ1γ2γm

定义 R n \mathbb{R}^{n} Rn 中子空间 H H H 的一组 H H H 中一个线性无关集,它生成 H H H.

e 1 = [ 1 0 ⋮ 0 ] , e 2 = [ 0 1 ⋮ 0 ] , ⋯ , e n = [ 0 ⋮ 0 1 ] \boldsymbol{e}_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{e}_{2}=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right], \cdots, \boldsymbol{e}_{n}=\left[\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] e1= 100 ,e2= 010 ,,en= 001

{ e 1 , ⋯ , e n } \left\{\boldsymbol{e}_{1}, \cdots, \boldsymbol{e}_{n}\right\} {e1,,en} 称为 R n \mathbb{R}^{n} Rn 的标准基。

定理13 矩阵 A A A 的主元列构成 A A A 的列空间的基.

子空间的维数

可以证明,若子空间 H H H 有一组基包含 p p p 个向量,则 H H H 的每个基都正好包含 p p p 个向量.

可以假设向量 b 1 , … , b p \boldsymbol{b}_{1}, \ldots, \boldsymbol{b}_{p} b1,,bp 生成一个子空间 W W W,令 { a 1 , ⋯ , a q } \left\{\boldsymbol{a}_{1}, \cdots, \boldsymbol{a}_{q}\right\} {a1,,aq} 是任一 W W W 中包含多于 p p p 个向量的向量集。可以证明存在 u \boldsymbol{u} u,使得 A u = 0 A \boldsymbol{u}=\mathbf{0} Au=0

n n n 阶行列式的定义 :基于 逆序数 τ \tau τ,如果一个较大的数排在一个较小的数 前,就称这两个数构成一个逆序,这个排列中所有逆序的总个数称为逆序数。所有取自不同行不同列的 n n n 个元乘积的代数和:

∣ A ∣ = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∑ j 1 , j 2 , ⋯ , j n ( − 1 ) τ ( j 1 , j 2 , ⋯ , j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n |\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\sum_{j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}} A= a11a21an1a12a22an2a1na2nann =j1,j2,,jn(1)τ(j1,j2,,jn)a1j1a2j2anjn

∣ A ∣ = 0 |A|=0 A=0 是奇异矩阵,它的列向量线性相关。

定理

令 A 是一个方阵,

  1. A A A 某一行的倍数加到另一行得到矩阵 B B B,则 d e t A = d e t B \mathrm{det~}A=\mathrm{det~}B det A=det B
  2. A A A 的两行互换得到矩阵 B B B,则 d e t A = − d e t B \mathrm{det~}A=- \mathrm{~det~}B det A= det B
  3. A A A 的某一行乘以 k k k 倍得到矩阵 B B B,则 d e t A = k ⋅ d e t B \mathrm{det~}A=k\cdot \mathrm{det~}B det A=kdet B

向量空间

V V V 是由 n n n 维向量构成的非空集合且满足:

  1. 对于任意的 α , β ∈ V \alpha, \beta \in V α,βV,有 α + β ∈ V \alpha+\beta \in V α+βV
  2. 对于任意的 α ∈ V \alpha\in V αV 以及任意的实数,有 k α ∈ V k\alpha\in V kαV

则称集合 V V V n n n 维向量空间( 即: 一个非空n 维向量的集合 V V V 耍构成一个向量空间, 必须满足加法和数乘运算的封闭性。 )

定义 向量空间的子空间除了乘法和加法的封闭性之外,还需要额外满足零向量在子空间中。

向量空间的基

如果向量空间 V V V 中的 m m m 个向量 α 1 , α 2 , ⋯ , α m \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m α1,α2,,αm ,满足:

  1. α 1 , α 2 , ⋯ , α m \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m α1,α2,,αm 线性无关
  2. V V V 中的任一向量 α \alpha α 都可由 α 1 , α 2 , ⋯ , α m \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m α1,α2,,αm 线性表示

则称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α m \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m α1,α2,,αm 为向量空间 V V V 的一个基,且基向量的个数 m m m 称为向量空间 V 的维数,记为 d i m V \mathrm{dim~}V dim V


坐标系:设 A = { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } \mathcal{A}=\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\} A={α1,α2,,αm} m m m 维向空间 V V V 的一个基, 对 β ∈ V \beta\in V βV,有

β = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x m α m \beta=x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+\cdots+x_{m} \alpha_{m} β=x1α1+x2α2++xmαm

则称坐标向量 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x m ) T (x_1,x_2,\cdots,x_m)^T (x1,x2,,xm)T β \beta β 在基 A \mathcal{A} A 下的坐标。


特征值的性质

det ⁡ ( A − λ I ) = a 0 + a 1 λ + … + a n λ n \operatorname{det}(A-\lambda I)=a_{0}+a_{1} \lambda+\ldots+a_{n} \lambda^{n} det(AλI)=a0+a1λ++anλn

根据韦达定理,设复系数一元 n n n 次方程 a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 = 0 a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}=0 anxn+an1xn1++a1x+a0=0 的根为 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} x1,x2,,xn,则成立:

x 1 + x 2 + ⋯ + x n = ∑ i = 1 n x i = − a n − 1 a n x 1 x 2 ⋯ x n = ∏ i = 1 n x i = ( − 1 ) n a 0 a n \begin{aligned} x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}&=\sum_{i=1}^{n} x_{i}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}} \\ x_{1} x_{2} \cdots x_{n}&=\prod_{i=1}^{n} x_{i}=(-1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} \end{aligned} x1+x2++xnx1x2xn=i=1nxi=anan1=i=1nxi=(1)nana0

根据该定理可以很容易得到两个结论:

  1. ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \prod_{i=1}^{n} \lambda_{i}=|A| i=1nλi=A
  2. ∑ i = 1 n a i i = ∑ i = 1 n λ i \sum_{i=1}^{n} a_{i i}=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} i=1naii=i=1nλi

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