标量场的梯度的旋度恒等于0，旋度的散度等于0。

旋度：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{rot}\mathbf{F}& =\left({\mathbf{e}}_x\frac{\partial }{\partial x}+{\mathbf{e}}_y\frac{\partial }{\partial y}+{\mathbf{e}}_z\frac{\partial }{\partial z}\right)\times \left({\mathbf{e}}_x{F}_x+{\mathbf{e}}_y{F}_y+{\mathbf{e}}_z{F}_z\right)\\ & ={\mathbf{e}}_x\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)+{\mathbf{e}}_y\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)+{\mathbf{e}}_x\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\\ & =\nabla \times \mathbf{F}\end{array}$$

$$\nabla \times \mathbf{F}=\left|\begin{array}{ccc}{\mathbf{e}}_x& {\mathbf{e}}_y& {\mathbf{e}}_z\\ & & \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ & & \\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|$$

散度：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{div}\mathbf{F}& =\left({\mathbf{e}}_x\frac{\partial }{\partial x}+{\mathbf{e}}_y\frac{\partial }{\partial y}+{\mathbf{e}}_z\frac{\partial }{\partial z}\right)\cdot \left({\mathbf{e}}_x{F}_x+{\mathbf{e}}_y{F}_y+{\mathbf{e}}_z{F}_z\right)\\ & =\nabla \cdot \mathbf{F}\end{array}$$

梯度：

$$\mathrm{grad}u=\left({\mathbf{e}}_x\frac{\partial }{\partial x}+{\mathbf{e}}_y\frac{\partial }{\partial y}+{\mathbf{e}}_z\frac{\partial }{\partial z}\right)u=\nabla u$$

亥姆霍兹定理：任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件唯一确定。

对于一个在有界域 $V$ 上的矢量场 $\mathbf{F}(\mathbf{r})$ ，其在满足二阶连续可微的情况下可以描述为一个无旋场和一个无散场的叠加，公式表述为：

$$\mathbf{F}(\mathbf{r})=-\nabla u(\mathbf{r})+\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})$$

其中，

$$u(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi }{\int }_V\frac{{\nabla }^{\prime }\cdot \mathbf{F}\left({\mathbf{r}}^{\prime }\right)}{\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}\mathrm{d}{V}^{\prime }-\frac{1}{4\pi }{\oint }_S\frac{{\mathbf{e}}_{\mathrm{n}}^{\prime }\cdot \mathbf{F}\left({\mathbf{r}}^{\prime }\right)}{\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}\mathrm{d}{S}^{\prime }$$

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi }{\int }_V\frac{{\nabla }^{\prime }\times \mathbf{F}\left({\mathbf{r}}^{\prime }\right)}{\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}\mathrm{d}{V}^{\prime }-\frac{1}{4\pi }{\oint }_S\frac{{\mathbf{e}}_{\mathrm{n}}^{\prime }\times \mathbf{F}\left({\mathbf{r}}^{\prime }\right)}{\left|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\right|}\mathrm{d}{S}^{\prime }$$

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媒质的电磁特性：

电介质：电介质中的束缚电荷在外加电场的作用下发生位移的现象。产生许多的电偶极子，改变了电介质中的电场分布。

引入极化强度 $\mathbf{P}$ 来描述电介质的极化程度，具体的物理意义为单位体积中的电偶极矩的矢量和，表示为

$$\mathbf{P}=\underset{\Delta V\to 0}{\lim }\frac{{\sum }_i{\mathbf{p}}_i}{\Delta V}$$

对于线性和各向同性电介质，其极化强度 $\mathbf{P}$ 与电介质中的合成电场强度 $\mathbf{E}$ 成正比，表示为

$$\mathbf{P}(\mathbf{r})={\chi }_{\mathrm{e}}{\epsilon }_0\mathbf{E}(\mathbf{r})$$

式中 ${\chi }_e$ 称为电介质的电极化率，是一个正实数。

极化电荷的体密度为：${\rho }_P=-\nabla \cdot \mathbf{P}$

电介质表面的极化电荷面密度为：${\rho }_{SP}=\mathbf{P}\cdot {\mathbf{e}}_{\mathrm{n}}$

磁介质：

具有磁效应的物质称为磁介质，其主要特征是电子的轨道运动和自旋形成的小环形电流，在磁场力的作用下，这些小环形电流会转动而有序排列，这种现象称为介质磁化。

对于线性和各向同性磁介质，磁化强度 $\mathbf{M}$ 与磁场强度 $\mathbf{H}$ 成正比，表示为

$$\mathbf{M}={\chi }_m\mathbf{H}$$

磁介质内磁化电流体密度，磁化强度之间的关系式是

$${\mathbf{J}}_M=\nabla \times \mathbf{M}$$

磁介质表面，磁化面电流体密度，磁化强度之间的关系式是

$${\mathbf{J}}_{SM}=\mathbf{M}\times {\mathbf{e}}_n$$

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矢量磁位：

利用磁场的无散度特征，即 $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$，我们可以利用一矢量的旋度 $\nabla \times \mathbf{A}$ 来计算磁感应强度 $\mathbf{B}$

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$$

式中 $\mathbf{A}$ 为矢量磁位，是一个辅助矢量。

标量磁位：如果研究的空间中不存在自由电流，则磁感应强度的旋度为0，此时可以用一个标量函数的梯度来表达该磁感应强度，该标量函数被称为标量磁位

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理想介质中的均匀平面波特点：

讨论的区域是无源区，即 $\rho =0$、$\mathbf{J}=0$，且充满线性、均匀、同向介质。

• 电场 $\mathbf{E}$、磁场 $\mathbf{H}$ 与传播方向 ${\mathbf{e}}_z$ 互相垂直，是横电磁波(TEM波)
• 电场与磁场之比，具有阻抗的量纲。在理想介质中，波阻抗为实数，因此电场与磁场同相位
  $$\eta =\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}(\Omega )$$
• 电磁波等相位面在空间中移动速度称为相位速度，理想介质中与电磁波频率无关。
• 电场能量密度等于磁场能量密度，即
  $$\frac{1}{2}\epsilon |\mathbf{E}{|}^2=\frac{1}{2}\mu |\mathbf{H}{|}^2$$

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趋肤深度：电磁波在良导体中衰减很快，故在传播很短的一段距离后就几乎衰减完了，频率越高，磁导率增加，磁感应强度越高衰减越快。

$$\delta =\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}$$

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电磁波的极化：电磁波的极化是电磁理论中的一个重要概念，它表征在空间给顶点上电场强度矢量的方向随时间变化的特性，并用电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹来描述。

若轨迹是直线，则称为直线极化；若轨迹是椭圆，则称为椭圆极化

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对理想导体平面的垂直入射：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{E}}_1(z,t)& =\mathrm{Re}\left[{\mathbf{E}}_1(z){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}\right]={\mathbf{e}}_{x}2E_{\mathrm{im}}\sin {\beta }_{1}z\sin \omega t\\ {\mathbf{H}}_1(z,t)& =\mathrm{Re}\left[{\mathbf{H}}_1(z){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}\right]={\mathbf{e}}_y\frac{2}{{\eta }_1}{E}_{\mathrm{im}}\cos {\beta }_{1}z\cos \omega t\end{array}$$

可以看到合成波在空间没有移动，只是在原来的位置振动，因此这种波称为驻波。

驻波系数：在工程中，常用驻波系数来描述合成波的特性，其定义是合成波电场强度最大值和最小值之比

$$S=\frac{{\left|{\mathbf{E}}_1\right|}_{\max }}{{\left|{\mathbf{E}}_1\right|}_{\min }}=\frac{1+|\Gamma |}{1-|\Gamma |}$$

四分之一波长匹配：在两种不同媒质之间插入一层厚度为四分之一波长的介质，媒质2的本征阻抗为根号下1和3的阻抗的乘积，则1和2的分界面上反射系数为0，常见于照相机的镜头。取媒质2的本征阻抗为

$${\eta }_2=\sqrt{{\eta }_1{\eta }_3}$$

半波长介质窗户（雷达天线罩）：两介质面的透射系数相乘为-1；可以通过使夹层媒质的相对介电常数等于相对磁导率来实现。

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全反射和全透射

• 全反射：从光密介质入射到光疏介质，使得反射系数为
• 全透射：入射角等于布儒斯特角，可以使得水平极化波全为0，无法使得垂直极化波全为0。

到这里所讨论的波都是横电磁波（TEM），电场强度 $\mathbf{E}$ 和磁场强度 $\mathbf{H}$ 都与波的传播方向垂直