C++前缀和算法的应用：向下取整数对和原理源码测试用例

本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例包括课程视频

题目

向下取整数对和
给你一个整数数组 nums ，请你返回所有下标对 0 <= i, j < nums.length 的 floor(nums[i] / nums[j]) 结果之和。由于答案可能会很大，请你返回答案对109 + 7 取余的结果。
函数 floor() 返回输入数字的整数部分。

示例

示例 1：
输入：nums = [2,5,9]
输出：10
解释：
floor(2 / 5) = floor(2 / 9) = floor(5 / 9) = 0
floor(2 / 2) = floor(5 / 5) = floor(9 / 9) = 1
floor(5 / 2) = 2
floor(9 / 2) = 4
floor(9 / 5) = 1
我们计算每一个数对商向下取整的结果并求和得到 10 。
示例 2：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：49
#参数范围
1 <= nums.length <= 10^5
1 <= nums[i] <= 10^5

分析

原理

枚举除数和商，然后根据前缀和在O(1)内计算出所有被除数的个数。

时间复杂度

当除数为1，枚举商的复杂度是O(n);当除数为2时，枚举商的复杂度是O(n/2);… 故总复杂度是：n+n/2+n/3…1，越sqrt(n)。故总时间复杂度是O(nsqrt(n))。

细节

为什么要用vNum[i]记录数字i出现的次数。如果不记录，当num是1个10^5和9999个1时，时间复杂度会是O(n*n)。

核心代码

template
class C1097Int
{
public:
C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
{

}
C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;
}
C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
{return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
{m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(long long n)const
{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{return pow(MOD - 2);
}
int ToInt()const
{return m_iData;
}

private:
int m_iData = 0;;
};

template
int operator+(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iRet;
}

template
int& operator+=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iData;
}

template
int operator*(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator*(C1097Int<>(iData)).ToInt();
return iRet;
}

template
int& operator*=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator*(C1097Int<>(iData)).ToInt();
return iData;
}
class Solution {
public:
int sumOfFlooredPairs(vector& nums) {
int iMax = std::max_element(nums.begin(), nums.end());
vector vNum(iMax + 1);//vNum[i]记录，数字i出现的次数
for (const auto& n : nums)
{
vNum[n]++;
}
vector vSum = { 0 };//vSum[i]表示[0,i)出现的次数
for (const auto& n : vNum)
{
vSum.emplace_back(n + vSum.back());
}
C1097Int<> biRet;
for (int n =1; n <= iMax ; n++ )
{//枚举除数
if (vNum[n] <= 0)
{
continue;//方便调试
}
for (int d = 1; d * n <= iMax; d++)
{//枚举商
//[dn,d*n+n)除以n的结果是d
const int tmp = min(d * n + n, (int)vSum.size()-1);
long long cur = ((long long)vSum[tmp] - vSum[d * n]) * vNum[n]*d;
biRet += C1097Int<>(cur);
}
}
return biRet.ToInt();
}
};

测试用例

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
assert(v1[i] == v2[i]);
}
}

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}
int main()
{
vector nums = { 2,5,9 };
Solution slu;
auto res =slu.sumOfFlooredPairs(nums);
Assert(10, res);

//CConsole::Out(res);

}

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快

速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
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鄙人想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
墨家名称的来源：有所得以墨记之。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛