Dijkstra求最短路（图解）

你好，我是Hasity。

今天分享的内容：Dijkstra求最短路这个题目

Dijkstra求最短路I

题目描述

给定一个 n个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。

请你求出 1 号点到 n号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式

输出一个整数，表示 1 号点到 n号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 −1。

数据范围

1≤n≤500,
1≤m≤10⁵,
图中涉及边长均不超过10000。

示例：

思路分析

迪杰斯特拉算法采用的是一种贪心的策略。求源点到其余各点的最短距离步骤如下：

用一个 dist 数组保存源点到其余各个节点的距离，dist[i] 表示源点到节点 i 的距离。初始时，dist 数组的各个元素为无穷大。
用一个状态数组 state 记录是否找到了源点到该节点的最短距离，state[i] 如果为真，则表示找到了源点到节点 i 的最短距离，state[i] 如果为假，则表示源点到节点 i 的最短距离还没有找到。初始时，state 各个元素为假。

源点到源点的距离为 0。即dist[1] = 0。
遍历 dist 数组，找到一个节点，这个节点是：没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点。假设该节点编号为 i。此时就找到了源点到该节点的最短距离，state[i] 置为 1。
遍历 i 所有可以到达的节点 j，如果 dist[j] 大于 dist[i] 加上 i -> j 的距离，即 dist[j] > dist[i] + w[i][j]（w[i][j] 为 i -> j 的距离），则更新 dist[j] = dist[i] + w[i][j]。

重复 3 4 步骤，直到所有节点的状态都被置为 1。

更新与序号1相连接的节点(2,3,4)的dist，离源点1距离最近的状态为0的节点是2，将节点2的state改为1，更新与序号2相连接的节点5的dist

离源点1距离最近的状态为0的的节点是4，将节点4的state改为1，更新与序号4相连接的节点5的dist

离源点1距离最近的状态为0的的节点是3，将节点3的state改为1，更新与序号3相连接的节点4的dist

离源点1距离最近的状态为0的的节点是5，将节点5的state改为1，更新与序号5相连接的节点的的dist（没有也需要遍历一遍）

此时 dist 数组中，就保存了源点到其余各个节点的最短距离。

思考：我们用什么数据结构表示图的任意顶点之间的连接关系呢？

邻接表和邻接矩阵是图的两种常用存储表示方式，用于记录图中任意两个顶点之间的连通关系，包括权值。

对于无向图 graph和有向图digraph

graph

digraph

选择一：邻接表

无向图 graph 表示

graph_adjacency_list

有向图 digraph 表示

digraph_adjacency_list

选择二：邻接矩阵

无向图 graph 表示

graph_adjacency_matrix

有向图 digraph 表示

digraph_adjacency_matrix

由题中的1≤n≤500的数据量较小，我们采用邻接矩阵的方法代码更容易实现

关于领接表的优缺点：大家可以看这一篇文章：

代码实现

import java.util.*;
public class Main{static int N = 510,n,m, max = 0x3f3f3f3f;static int[][] g = new int[N][N];//存每个点之间的距离static int[] dist = new int[N];//存每个点到起点之间的距离static boolean[] st = new boolean[N];//存已经确定了最短距离的点public static int dijkstra(){Arrays.fill(dist,max);//将dist数组一开始赋值成较大的数dist[1] = 0; //首先第一个点是零//从0开始,遍历n次，一次可以确定一个最小值for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){ int t = -1; //t这个变量,准备来说就是转折用的for(int j = 1 ; j <= n ; j ++ ){/**** 因为数字是大于1的，所以从1开始遍历寻找每个数* 如果s集合中没有这个数* 并且t == -1，表示刚开始 或者 后面的数比我心找的数距离起点的距离短* 然后将j 的值赋值给 t***/if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])){t = j; }}st[t] = true;//表示这个数是已经找到了确定了最短距离的点//用已经确认的最短距离的点来更新后面的点//就是用1到t的距离加上t到j的距离来更新从1到j的长度for(int j = 1 ; j <= n ; j ++ ){//dist[j] = Math.min(dist[j],dist[t] + g[t][j]);}}//如果最后n的长度没有改变，输出-1，没有找到；否则输出最短路nif(dist[n] == max) return -1;else return dist[n];}public static void main(String[] args){Scanner scan = new Scanner(System.in);n = scan.nextInt();m = scan.nextInt();//将他们每个点一开始赋值成一个较大的值for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){Arrays.fill(g[i],max);}while(m -- > 0){int a = scan.nextInt();int b = scan.nextInt();int c = scan.nextInt();g[a][b] = Math.min(g[a][b],c);//这个因为可能存在重边，所以泽出最短的}int res = dijkstra();System.out.println(res);}
}

Dijkstra求最短路 II

题目描述

给定一个 n个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。

请你求出 1 号点到 n号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式

输出一个整数，表示 1 号点到 n号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 −1。

数据范围

1≤n,m≤1.5×10⁵
图中涉及边长均不小于 0，且不超过 10000。
数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 10⁹。

示例：

思路分析

这道题和上一道没有什么区别，差别只有数据范围的变化

第一题：

1≤n≤500,
1≤m≤10⁵,
图中涉及边长均不超过10000。

第二题：

1≤n,m≤1.5×10⁵
图中涉及边长均不小于 0，且不超过 10000。
数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 10⁹。

我们可以对比发现，节点n的取值变大了，那么按照之前的时间复杂度O(n²)是肯定会超时的，所以我们需要降低时间复杂度，使用优先队列（小根堆）解决，并且随着n的取值变大，我们使用领接表来替代邻接矩阵存储图之间的关系

第一题：找到未标记的离源点最近的点 O(n²)

   for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){ int t = -1; //t这个变量,准备来说就是转折用的for(int j = 1 ; j <= n ; j ++ ){/**** 因为数字是大于1的，所以从1开始遍历寻找每个数* 如果s集合中没有这个数* 并且t == -1，表示刚开始 或者 后面的数比我心找的数距离起点的距离短* 然后将j 的值赋值给 t***/if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])){t = j; }}

算法的主要耗时的步骤是从dist 数组中选出：没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点 t。只是找个最小值而已，没有必要每次遍历一遍dist数组。在一组数中每次能很快的找到最小值，很容易想到使用优先队列（小根堆）

代码实现

import java.util.*;
class PIIs implements Comparable<PIIs>{private int first;//距离值private int second;//点编号public int getFirst(){return this.first;}public int getSecond(){return this.second;}public PIIs(int first,int second){this.first = first;this.second = second;}@Overridepublic int compareTo(PIIs o) {// TODO 自动生成的方法存根return Integer.compare(first, o.first);}
}
public class Main{static int N = 150010,n,m,idx,max = 0x3f3f3f3f;static int [] h = new int[N],e = new int[N],ne = new int[N],w = new int[N];static int[] dist = new int[N];static boolean[] st = new boolean[N];public static void add(int a,int b,int c){e[idx] = b;w[idx] = c;ne[idx] = h[a];h[a] = idx++;}public static int dijkstra(){//优先队列，保证每次取出都是最小值//维护当前未在st中标记过且离源点最近的点   小跟堆PriorityQueue<PIIs> queue = new PriorityQueue<PIIs>();Arrays.fill(dist, max);dist[1] = 0;queue.add(new PIIs(0,1));while(!queue.isEmpty()){//1、找到当前未在s中出现过且离源点最近的点PIIs p = queue.poll();int distance = p.getFirst();int t = p.getSecond();if(st[t]) continue;//2、将该点进行标记st[t] = true;//3、用t更新其他点的距离for(int i = h[t];i != -1;i = ne[i])//不要被这个遍历误导，这只是一个遍历循环而已，i只是下一个点的下标{int j = e[i];// i只是个下标，e中在存的是i这个下标对应的点和值。if(dist[j] > distance + w[i]){dist[j] = distance + w[i];queue.add(new PIIs(dist[j],j));}}}if(dist[n] == max) return -1;return dist[n];}public static void main(String[] args){Scanner scan = new Scanner(System.in);n = scan.nextInt();m = scan.nextInt();Arrays.fill(h,-1);while(m -- > 0){int a = scan.nextInt();int b = scan.nextInt();int c = scan.nextInt();add(a,b,c);}int res = dijkstra();System.out.println(res);}
}