狄拉克函数及其性质

  • 狄拉克函数及其性质

狄拉克函数

\delta(x)=\left\{\begin{matrix} \infty & x=0\\ 0&x\neq0 \end{matrix}\right.

\int_{-\epsilon}^{+\epsilon}\delta(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx=1

近似处理

逼近近似

\lim_{\sigma\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{\pi}\sigma}e^{-x^2/\sigma^2}=\delta(x)

\lim_{\alpha\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{i\pi/4}e^{-i\alpha x^2}=\delta(x)

\lim_{\alpha\rightarrow\infty}\frac{sin(\alpha x)}{\pi x}=\delta(x)

\lim_{\alpha\rightarrow\infty}\frac{sin^2\alpha x}{\pi\alpha x^2}=\delta(x)

\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{e^{-|x|/\epsilon}}{2\epsilon}=\delta(x)

\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}=\pi\delta(x)

积分近似

\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ikx}dk=2\pi\delta(x)

狄拉克函数的性质

\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)

\delta(-x)=\delta(x)

\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-a)dx=f(a)

\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-a)\delta(x-b)dx=\delta(a-b)

x\delta(x)=0

狄拉克函数的Hermite展开

2\delta(1-cos\theta)=\sum_{l=0}^\infty (2l+1)P_l(cos\theta)

\delta(x-x')=\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-\frac{1}{2}(x^2+x'^2)}}{\sqrt{\pi}2^n\cdot n!}H_n(x')H_n(x)

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