重点记忆法
a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0
整体可以由： 根（多少，正负，区间） ⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 求根公式 x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 判断两根符号情况，即根多少由 △ △ △判断，根需要求根公式，求根公式可推导韦达定理，韦达定理可判断两根符号情况。
1.根
⟹ \Longrightarrow ⟹ 根的多少： △ △ △＞0，方程有两根， x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△，抛物线与x轴有两个交点 ； △ △ △＝0，方程有一根， x x x为 − b 2 a -\frac{b}{2a} −2ab，抛物线与x轴有一个交点； △ △ △＜0，方程无根，抛物线与x轴没有交点；
⟹ \Longrightarrow ⟹ 根的正负：两正根（ △ ≥ 0 , x 1 + x 2 ＞ 0 , x 1 x 2 ＞ 0 △≥0,x_1+x_2＞0,x_1x_2＞0 △≥0,x1+x2＞0,x1x2＞0）；两负根（ △ ≥ 0 , x 1 + x 2 ＜ 0 , x 1 x 2 ＞ 0 △≥0,x_1+x_2＜0,x_1x_2＞0 △≥0,x1+x2＜0,x1x2＞0）；异号根（ x 1 x 2 ＜ 0 x_1x_2＜0 x1x2＜0）
⟹ \Longrightarrow ⟹ 根的区间：看顶点（横坐标相当于看对称轴，纵坐标相当于看 △ △ △）、看端点（根所分布区问的端点）。or画图+三要素， △ △ △、对称轴和端点代入。
⟹ \Longrightarrow ⟹ 根与系数关系： x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2=-\frac{b}{a} x1+x2=−ab， x 1 ⋅ x 2 = c a x_1·x_2=\frac{c}{a} x1⋅x2=ac。
2. △ △ △判别式
⟹ \Longrightarrow ⟹ b 2 − 4 a c b^2-4ac b2−4ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＞0，方程有两根， x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△，抛物线与x轴有两个交点
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＝0，方程有一根， x x x为 − b 2 a -\frac{b}{2a} −2ab，抛物线与x轴有一个交点
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＜0，方程无根，抛物线与x轴没有交点
⟹ \Longrightarrow ⟹ y y y的最值为 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4ac−b2 ＝ －△ 4 a \frac{－△}{4a} 4a－△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 △ ∣ a ∣ \frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣a∣△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 ( △ ) 3 8 a 2 \frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 8a2(△)3
3.求根公式
x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 + x 2 = − b ＋ △ 2 a ＋ − b − △ 2 a = − b a x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a} x1+x2=2a−b＋△＋2a−b−△=−ab
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 ⋅ x 2 = − b ＋ b 2 − 4 a c 2 a ∗ − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a x_1·x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a} x1⋅x2=2a−b＋b2−4ac∗2a−b−b2−4ac=ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ − b ＋ △ 2 a − − b − △ 2 a ∣ = △ ∣ a ∣ |x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣x1−x2∣=∣2a−b＋△−2a−b−△∣=∣a∣△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 1 2 ⋅ ∣ y ∣ ⋅ ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ －△ 4 a ∣ ∗ △ ∣ a ∣ = ( △ ) 3 8 a 2 \frac{1}{2}·|y|·|x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|*\frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 21⋅∣y∣⋅∣x1−x2∣=∣4a－△∣∗∣a∣△=8a2(△)3
4.韦达定理： x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2=-\frac{b}{a} x1+x2=−ab， x 1 ⋅ x 2 = c a x_1·x_2=\frac{c}{a} x1⋅x2=ac， ∣ x 1 − x 2 ∣ = b 2 − 4 a c ∣ a ∣ |x_1-x_2|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} ∣x1−x2∣=∣a∣b2−4ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ 求出关于两个根的对称轮换式的数值
⟹ \Longrightarrow ⟹ 判断两根符号情况
⟹ \Longrightarrow ⟹ 一元三次方程 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0的韦达定理： x 1 + x 2 + x 3 = − b a x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} x1+x2+x3=−ab， x 1 x 2 x 3 = − d a x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} x1x2x3=−ad， x 1 x 3 + x 2 x 3 + x 1 x 3 = c a x_1x_3+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a} x1x3+x2x3+x1x3=ac
⟹ \Longrightarrow ⟹
理解记忆法
求根公式推导
https://www.bilibili.com/read/cv4538376/
韦达定理、弦长公式、顶点△面积推导
韦达定理、弦长公式、顶点△面积由求根公式推导而来
x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 + x 2 = − b ＋ △ 2 a ＋ − b − △ 2 a = − b a x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a} x1+x2=2a−b＋△＋2a−b−△=−ab
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 ⋅ x 2 = − b ＋ b 2 − 4 a c 2 a ∗ − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a x_1·x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a} x1⋅x2=2a−b＋b2−4ac∗2a−b−b2−4ac=ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ − b ＋ △ 2 a − − b − △ 2 a ∣ = △ ∣ a ∣ |x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣x1−x2∣=∣2a−b＋△−2a−b−△∣=∣a∣△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 1 2 ⋅ ∣ y ∣ ⋅ ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ －△ 4 a ∣ ∗ △ ∣ a ∣ = ( △ ) 3 8 a 2 \frac{1}{2}·|y|·|x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|*\frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 21⋅∣y∣⋅∣x1−x2∣=∣4a－△∣∗∣a∣△=8a2(△)3
or
由韦达定理的结论和完全平方公式可推出：
∣ x 1 − x 2 ∣ = ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 = b 2 − 4 a c ∣ a ∣ |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} ∣x1−x2∣=(x1+x2)2−4x1x2=∣a∣b2−4ac = △ ∣ a ∣ =\frac{\sqrt{△}}{|a|} =∣a∣△
根的区间之理解
结合图像，就很容易理解了，所以“根的区间判定”，结合图像，是最快的。
以下是其他角度总结，但是缺少图像，不怎么好快速理解：
区问根问题，常使用 “ 两点式 ” 解题法，即看顶点（横坐标相当于看对称轴，纵坐标相当于看 △ △ △）、看端点（根所分布区问的端点）。
为了讨论方便，只讨论 a ＞ 0 a＞0 a＞0的情况，考试时，若a的符号不定，则需要讨论开口方向。
归类记忆法
根的分布问题：正负根问题和区间根问题
记忆宫殿法
谐音记忆法
求根公式 x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△很重要
快速秒杀法
图形结合法
结合图像，就很容易理解了，所以“根的区间判定”，结合图像，是最快的。
那怎么记忆住这种方式呢
“根的区间”判定：画图+三要素， △ △ △、对称轴和端点代入。
or
根的区间：看顶点（横坐标相当于看对称轴，纵坐标相当于看 △ △ △）、看端点（根所分布区问的端点）。即：遇到根的区间，就联想到横纵坐标，即需要确定横坐标的位置，纵坐标是否存在，但是有这两个还不够，需要第三者加入，即端点代入后的正负，可以决定整个图像的位置。
转图像记忆法
结合字母编码
学习记忆——英语——字母编码
-
求根公式
x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△，很重要，可以推导出韦达定理等，故事如下：两个苹果（a）上面有个士兵（±），左手拿着香蕉（b）挡住箭（-），右边是一座桥，桥底有一个三角形。
-
一元二次方程的根： x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=−2ab：2座桥，桥上有一个香蕉，桥底有两个苹果。
或者：两颗苹果上面有根香蕉，要想托稳香蕉，得有两个横版（一个负号，一个除号）。
或者两个苹果上面有一座桥和一根香蕉
3. y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c的最值： 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4ac−b2 ＝— △ 4 a \frac{△}{4a} 4a△
4颗苹果上面有两座桥，桥上有一个三角形。
- 韦达定理
x为剪刀，a苹果，b香蕉，c月亮
剪头➕剪刀可以换，苹果顶着负香蕉
剪刀，剪刀，剪刀，可以换，苹果顶着月亮
