3D生成重建005-NeRF席卷3D的表达形式

---

0 论文工作

NeRF(神经辐射场技术)最早2020年提出用于新视图合成任务，并在这个领域取得了优秀的效果。如下图所示，受到体渲染的启发，论文通过已知的一组相机参数对物体进行图像采集，然后通过这组图像去训练一个MLP，MLP训练好之后能合成新视图的图像，且合成质量很高。

参考
NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthes

1 论文方法

虽然我们的输入是图像，但是实际上nerf的基本原理是在射线的层次进行。下图是相机成像的简化原理，主要包括相机光心（小孔），物体，图像平面和虚平面。nerf的相关原理都是在光心，虚平面和3d物体之间展开。

通过若干已知相机参数对一个物体进行多角度的图像采集后，得到物体环绕一周的密集视图。借助相机将图像拆分成若干条射线进行训练。如下图，以相机中心O通过虚平面想某一像素位置发出的光线为例。训练一个MLP,输入空间点的位置（x,y,z）和相机信息$(\theta 和\varphi )$去预测他的密度和颜色$(\sigma ,RGB)$，通过积分的形式用光线上点的$(\sigma ,RGB)$预预测虚平面上该位置的RGB，然后通过对比损失去优化MLP。简化成$F_{\theta }(X,d)=(c,\sigma )$输入体空间中任意一点的位置和光线的方向，去预测他的颜色c和密度$\sigma$。

1.1 体渲染

其中${\sigma }_x$表示光线在位置为x的例子处终止的概率,也可以叫密度或者不透明度。光线r的颜色表示为$C_r$,光线表示为$r(t)=O+td$，O表示相机光心，t表示步长，d表示光线的方向,用$t_n和t_f$表示体渲染的边界。那么这条光线的颜色可以表示为$$C(r)={\int }_{t_n}^{t_f}T(t)\sigma (r(t)）c(r(t),d))dt$$
上面的公式主要包含了3项其中$\sigma (r(t),c(r(t),d)$分别表示位置t处的密度和颜色，$T(t)=exp(-{\int }_{t_n}^t\sigma (r(s))ds)$表示前面所有点的累计投射率，即光线穿过前面的所有点的概率。
整体的表达就是，光线的颜色等于每一点处累积透射率和终止率和颜色的积分。
显然当点x是连续的时候，这个积分的计算是很困难的，因此下面使用离散积分的情况。

1.2 离散积分

现在把$[t_n,t_f]$N等分那么ti表示一个区间内的点$t_i$~$u[t_n+\frac{i-1}{N}(t_f-t_n),t_n+\frac{i}{N}(t_f-t_n)]$
那么体渲染的积分方程变为$$\widehat{C(r)}=\sum _{i=1}^N{T}_i(1-exp(-{\sigma }_i{\delta }_i))c_i其中T_i=exp(-\sum _{j=1}^{i-1}{\sigma }_j{\delta }_j)$$
上面 的式子中${\delta }_i=t_{i+1}-t_i$表示间距。$1-exp(-{\sigma }_i{\delta }_i)$等价于原来的$\sigma$。
整体上相当于把积分变成每个bin区间的和了。

1.3位置编码

因为MLP在预测xyz这种位置相关的问题时表示高频信息的能力较差，因此通过位置表明的形式将输入转换为高频信息。
$$\gamma (p)=(sin(2^0\pi p),cos(2^0\pi p)...sin(2^{L-1}\pi p),cos(2^{L-1}\pi p))$$
对于x来说L=10，对于d来说L=4

1.4分层采样

因为遮挡和空白区域也会产生大量计算，论文使用Hierarchical volume sampling，采用由粗到细的策略，根据粗网络的结果，在细网络中很具重要程度进行采样。改写的公式为
$$\widehat{C(r)}=\sum _{i=1}^{N_c}{w}_i{c}_i,其中w_i=T_i(1-exp(-{\sigma }_i{\delta }_i))$$
重要程度用$\hat{w}=\frac{w_i}{{\sum }_{j=1}^{N_c}{w}_j}$表示。

1.5 影响

后续研究者对nerf的渲染速度训练速度和质量进行优化，使得nerf逐渐成为一种很重要的3d表达形式。

2 效果