初阶数据结构：二叉搜索树

概念

性能

效率分析

二分缺陷

功能

插入

查找

删除

实现

应用

概念

二叉搜索树（又称：二叉排序树），是由一些具有特别性质的二叉树衍变而来。

只要一棵二叉树具备以下性质，即可称作二叉搜索树。

【1】若左子树不为空，左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值

【2】若右子树不为空，右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值

【3】根的左右子树也都为二叉搜索树

⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体问题具体分析。

C++的STL中的map\set\mutimap\mutiset的底层就是二叉搜索树，muti-支持重复。

性能

就二叉搜索树的性质来看，

一系列值以根节点为中心，比根小的放左边，比根大的放右边，各自分散到根两侧的左右子树。

似乎能品出一丝二分查找的味道？

二分查找也是从中间值开始，分为左右两个区间，小数往左区间找，大数往右区间找。

有些异曲同工之妙。

效率分析

正是本质相同，二叉搜索树与二分查找在查找的功能上可以进行类比，

但二叉搜索树的查找的时间复杂度可以直接看作二分查找的O(log2 N)吗？

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树（或接近完全二叉树）时，其高度为log2 N，时间复杂度可看作O(log2 N)

最坏情况下，二叉搜索树退化为单支树（或接近单支）时，高度为N，时间复杂度就是O(N)了

综合来看，二叉搜索树受结构影响，查找的时间复杂度是O(N)。

可见二叉搜索树如此的效率并不总能达到我们的需求，

所以后续平衡二叉树AVL树和红黑树就是在二叉搜索树的基础上进行变形调整，尽量将二叉搜索树平衡为完全二叉树结构，以保证效率。（后续展开学习）

二分缺陷

那么假如不知道红黑树和AVL树的，稳定log2 N的二分查找是否就一定优于二叉搜索树呢？

二分查找的缺陷：

【1】存储值的容器支持随机访问，且值必须有序。

【2】查找后要进行修改，插入、删除的效率低下。因为存在支持随机访问的容器中（vector、deque等），插入删除一般就要挪动数据。

这也就体现了二叉搜索树的进阶--平衡二叉树的价值。

功能

插入

二叉搜索树要插入数据，只要根据其特性进行即可。

具体过程：

树空，第一个插入的结点就是根结点。

树不空，则每次进行比较，插入值小于当前结点，往左走；插入值大于当前结点，往右走。直到找到空位置，插入新结点。

如果要插入相等值，则改动比较逻辑，小于等于往左走，大于往右走（反之也可）。自行抉择相等值放左树还是右数，可不能既要又要。

bool insert(const Key& x)
{Node* node = new Node(x);Node* cur = _root;Node* parent = cur;     //插入新结点，得知道往哪里插if (_root == nullptr){_root = node;return true;}while (cur){if (x > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else if (x < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else{return false;}}if (x > parent->_key)       //知道插给谁，还要知道 插左or插右{parent->right = node;}else if (x < parent->_key){parent->left = node;}return true;
}

查找

1.查找x，从根开始⽐较，x⽐根值⼤则走右边继续找，x⽐根值⼩则走左边继续找。

2. 最多查找⾼度次，⾛到空，还没找到，这个值不存在。

3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回。

4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。

Node* find(const Key& x)
{Node* cur = _root;while (cur){if (x > cur->_key){cur = cur->right;}else if (x < cur->_key){cur = cur->left;}else{return cur;}}return nullptr;
}

删除

要删除x，首先要找到x，查找逻辑同上。

关键在于怎么删。

由于我们有单链表的基础，应该知道仅仅找到被删结点是不够的，还需要有被删结点的Parent结点，才能进行结点删除的操作。所以要定义两个指针cur和parent.

删除结点时会碰到4种情况：（假设被删结点为N）

【1】N为叶子结点，左右为空；

【2】N的左为空，右不为空；

【3】N的左不为空，右为空；

【4】N的左右不为空。

删除方案：

【1】把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）

【2】把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点

【3】把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点

【4】⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。
找到N左子树的最大值R，或者N右子树的最小值R来替代N。二选一，都能满足结构特性。

替代N的意思就是将N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

代码部分请看实现

实现

template<class Key>
struct BSTree_Node
{BSTree_Node(const Key& x = Key()):left(nullptr),right(nullptr),_key(x){}BSTree_Node* left;BSTree_Node* right;Key _key;
};template<class Key>
class BSTree
{typedef BSTree_Node<Key> Node;public:BSTree() = default;        //生成默认构造bool insert(const Key& x){Node* node = new Node(x);Node* cur = _root;Node* parent = cur;if (_root == nullptr){_root = node;return true;}while (cur){if (x > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else if (x < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else{return false;}}if (x > parent->_key){parent->right = node;}else if (x < parent->_key){parent->left = node;}return true;}Node* find(const Key& x){Node* cur = _root;while (cur){if (x > cur->_key){cur = cur->right;}else if (x < cur->_key){cur = cur->left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool erase(const Key& x){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (x < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else if (x > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else                        //左右不为空，最难部分，需要好好理清楚{if (cur->left == nullptr){if (parent == nullptr)   //根的父亲为nullptr{_root = cur->right;}else{//if (parent->_left == cur)这样也行if (cur->_key < parent->_key){parent->left = cur->right;}else{parent->right = cur->right;}}delete cur;return true;}else if (cur->right == nullptr){if (parent == nullptr)   //根的父亲为nullptr{_root = cur->left;}else{//if (parent->_left == cur)这样也行if (cur->_key < parent->_key){parent->left = cur->left;}else{parent->right = cur->left;}}delete cur;return true;}else{Node* rightMin_Parent = cur;Node* rightMin = cur->right;while (rightMin->left){rightMin_Parent = rightMin;rightMin = rightMin->left;}swap(cur->_key, rightMin->_key);if (rightMin_Parent->left == rightMin){rightMin_Parent->left = rightMin->right;}else{rightMin_Parent->right = rightMin->right;}delete rightMin;return true;}}}return false;}void Inorder(){inorder(_root);cout << endl;}private:void inorder(Node* root){if (root == nullptr)return;inorder(root->left);cout << root->_key << " ";inorder(root->right);}private:Node* _root = nullptr;
};

应用

key搜索场景

只有key作为关键码，结构中只要存key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key就破坏搜索树结构了。

【1】小区大门车辆栏杆。扫描车牌，检索是否是小区的车，找到了则抬杠放行，反之不抬杆。

【2】检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库放入搜索树，读取文章中的单词进行搜索。

key/value搜索场景：

key搜索本身的应用不够广，但如果我们在结点中增添一个值，就有很大的操作空间了。

key存搜索数据，val存该数据的一些附加信息。

通过key可快速找到其对应的value。

template<class Key, class Val>
struct BSTree_Node
{BSTree_Node(const Key& x = Key(),const Val& y = Val()):left(nullptr),right(nullptr),_key(x),_val(y){}BSTree_Node* left;BSTree_Node* right;Key _key;Val _val;
};

【1】简单中英互译词典。key存英文，val存中文。搜索英文，将val存的中文一起显示即可。

【2】商场无人停车场\车库。key存车牌，val存入场时间。出场时即可通过车牌找到入场时间，结合退场时间从而算出停车时长，计算停车费用，缴费后抬杆放行。

【3】统计英文文章词频。读取一个词，查找是否存在。

不存在说明第一次出现设val为1，存在val++。