逻辑回归 (Logistic Regression)

问题的引出

假设使用线性回归来解决分类问题

看起来还不错，但若是沿横轴正方向的远处加入训练样本，就会导致线性回归的拟合线偏移，如下图所示。

图中决策边界右移，这样就会导致先前的部分训练样本预测值从 yes 变为 no。

整个模型变的很糟糕。

分类问题的目标是找到一个决策边界，能够正确区分不同类别的样本。理想情况下，决策边界应该由靠近边界的样本（支持向量）决定，而不是由远处的样本点决定。

在分类问题中，增加新的训练样本（尤其是远离决策边样的样本）不应显著改变原有的分类结论。

由此引入逻辑回归来解决分类问题。

Sigmoid function

为了更好拟合训练样本，整个线条呈现 s 型，由此引入 Sigmoid function（又常称为 logistic函数）。

Sigmoid函数，又称logistic函数，是最早使用的激活函数之一。但是由于其固有存在的一些缺点，如今很少将其作为激活函数，但是依然常用于二分类问题中的概率划分。

将线性回归的结果，通过sigmoid函数转换到0-1的范围，实现分类。

逻辑回归的解释

$$f_{\vec{w},b}(\vec{x})=P(y=1|\vec{x};\vec{w},b)$$
表示为给定输入特征为 $x$，$y$ 等于 $1$ 的概率。

(given x, and with parameters w and b)

threshold 阈值

通过与阈值进行比较来决定 $\hat{y}$ 为 $0$ 还是 $1$，通常将 $0.5$ 作为阈值。

决策边界 (Decision boundary)

决策边界便是让 $z=0$ 的地方，在这里设 $\vec{w}=[1,1]$，由此令 $z=0$，则 $x_1+x_2=3$，在这个例子中通过线性规划可以做出对应的直线，如上图所示。

决策边界也不一定是直线，通过前面学过的多项式回归，可以得到下图关系。

先通过梯度下降算法对样本拟合出曲线或者曲面或者更高纬度，然后对其进行分类。

通过多项式特征，可以获得非常复杂的决策边界，换句话说逻辑回归可以拟合非常复杂的数据。

逻辑回归的代价函数

线性回归中，通过平方误差作为代价函数来决定 $\vec{w}$ 和 $b$ 的取值，同理逻辑回归也可以去寻找对应的代价函数来决定 $\vec{w}$ 和 $b$ 的取值。

convex function 下凸函数

concave function 上凸函数

如果同样使用前面平方误差作为代价函数的话，从上图结果来看，这将导致代价函数为非下凸函数 （non-convex function），使用梯度下降会导致很容易陷入局部最小值，而非全局最小值。因此，平方误差代价函数对于逻辑回归并不是一个好的选择。

将以下符号称为单个训练实例的损失 (loss)。
$$L(f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}),y^{(i)})$$

例如，在之前学到的线性回归中，代价函数形式如下。
$$J(w,b)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}{)}^2$$

因此单个训练实例的损失定义如下。($\frac{1}{2}$ 要提到内部单项)
$$L(f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}),y^{(i)})=\frac{1}{2}(f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)})-{\vec{y}}^{(i)})$$

另外可以得到，以下定义。
$$J(w,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L(f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}),y^{(i)})$$

这里选用以下函数作为逻辑回归的代价函数，个人感觉是一种针对sigmoid函数的 $e^x$ 的特殊构造。（不到怎么推出来的，问就是前人的智慧😂）
$$L(f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}),y^{(i)})=\{\begin{array}{ll}-\log (f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}))& if{y}^{(i)}=1\\ -\log (1-f_{\vec{w},b}(x^{(i)}))& if{y}^{(i)}=0\end{array}$$

称为二分类交叉熵损失（Binary Cross-Entropy, BCE）

如果模型预测 99.9% 的概率为恶性肿瘤，但是结果为非恶性肿瘤，loss 就会非常高用来惩罚模型。

用原来的平方和的损失函数导致在逻辑回归情况下，函数是非凹非凸的，会落入局部最小值。两个拆开的凸函数达到局部最优，也就是整体的全局最优，而改用为这个，把逻辑回归分为训练事例 $y$ 的真实值为 $0$，为 $1$，依据log形成两个拆开的凸函数。

事实证明选择这个损失函数，整体函数为下凸函数 (convex function)，这个构型是高斯误差方程。

机器学习中代价函数的设计

1. 代价函数的来源

（1）从概率模型推导而来（统计学习视角）

• 核心思想：假设数据服从某种概率分布，通过极大似然估计（MLE） 或 最大后验估计（MAP） 推导出损失函数。
• 典型例子：
  • 均方误差（MSE）：假设噪声服从高斯分布（线性回归）。
  • 交叉熵损失：假设标签服从伯努利/多项分布（逻辑回归、Softmax分类）。
  • 泊松损失：假设数据服从泊松分布（计数数据回归）。
• 为什么有效：
  这类损失函数天然具备概率解释，优化它们等价于最大化数据似然或后验概率。

（2）直接针对算法目标设计（优化视角）

• 核心思想：不依赖概率假设，而是直接定义优化目标（如间隔最大化、稀疏性等）。
• 典型例子：
  • Hinge Loss（SVM）：目标是最大化分类间隔，无显式概率模型。
  • 0-1损失：直接优化分类错误率（但不可导，实际常用替代损失）。
  • 自定义损失：如Focal Loss（解决类别不平衡）、Huber Loss（鲁棒回归）。
• 为什么有效：
  这些函数直接反映算法的核心目标（如分类准确性、鲁棒性），即使没有概率解释。

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2. 代价函数与算法的适配性

不同算法使用不同的代价函数，因为它们的目标和假设不同：

算法	典型代价函数	设计依据
线性回归	均方误差（MSE）	高斯噪声假设 + MLE
逻辑回归	交叉熵损失	伯努利分布 + MLE
支持向量机（SVM）	Hinge Loss	最大化分类间隔（几何目标）
决策树	基尼系数/信息增益	分割纯度的直接度量
神经网络	多种（MSE/交叉熵等）	根据任务选择（回归/分类）

总结

• 回归问题：常用MSE（高斯假设）、MAE（拉普拉斯假设）、Huber Loss（鲁棒性）。
• 分类问题：常用交叉熵（概率校准）、Hinge Loss（间隔最大化）。
• 特定需求：如类别不平衡用Focal Loss，稀疏性用L1正则。

逻辑回归的简化代价函数

合并二分类交叉熵损失（Binary Cross-Entropy, BCE）

$$L(f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}),y^{(i)})=-y^{(i)}\log (f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)}))-(1-y^{(i)})\log (1-f_{\vec{w},b}(x^{(i)}))$$

梯度下降实现

上述求导中，将 $\log$ 默认看为了 $\ln$ 然后进行。

上述形式看起来很像线性回归所求的，但是注意 $f_{\vec{w},b}({\vec{x}}^{(i)})$ 已经发生了改变。