在 $△ABC$ 中, 点 $M$ 是边 $AC$ 的中点. 在线段 $AM$, $CM$ 上分别取点 $P$, $Q$, 使得 $PQ=AC/2$. 设 $△ABQ$ 的外接圆与边 $BC$ 相交于点 $X$, $△BCP$ 的外接圆与边 $AB$ 相交于点 $Y$ ($X$, $Y\ne B$).

证明: (1) 四边形 $BXMY$ 内接于圆.

(2) 设 $(AXMY)$ 交 $BC$ 于点 $T$, 求证: $T$ 在 $(AMX)$ 与 $(AMY)$ 的根轴上.

(选自《高中数学联赛模拟试题精选》第2套, 有改动)

证明: (1)

显然 $△PBX\sim △QYC$.

证明 $△PMX\sim △QYM$ :

显然 $\angle BPX=\angle QYM=\angle BAC$.

显然 $CQ=PM$, $MQ=BP$, $△BXP\sim △YCQ$.

$PX/PB=QC/QY$.

$PX\cdot QY=PB\cdot QC=MQ\cdot MP$.

$PX/MP=MQ/QY$.

综上, $△PMX\sim △QYM$.

进而易知 $\angle XMY=\pi -\angle BAC$, $X$, $A$, $Y$, $M$ 共圆.

(2)

设 $B$ 关于 $P$ 的对称点为点 $T^{\prime }$. 则显然 $T^{\prime }Q=QC$.

下面证明: $T^{\prime }$ 即为 $T$.

$XP\cdot QY=PM\cdot MQ=BP\cdot CQ=P{T}^{\prime }\cdot T^{\prime }Q$.

结合 $\angle XP{T}^{\prime }=\angle T^{\prime }QY$, 可知 $△XP{T}^{\prime }\sim △T^{\prime }QY$.

进而易知 $\angle X{T}^{\prime }Y=\pi -\angle BAC$.

证毕.