1.二分查找简介

二分查找算法（Binary Search）是一种高效的查找算法，适用于有序数组或序列。它的基本思想是通过逐步缩小查找范围，将查找区间一分为二，直到找到目标值或确定目标值不存在。

算法原理：在数组的中间位置选择一个元素作为“中间值”。将目标值与“中间值”进行比较：如果目标值等于中间值，查找成功，返回中间值的索引。如果目标值小于中间值，则在左半部分继续查找。如果目标值大于中间值，则在右半部分继续查找。重复以上步骤，直到找到目标值或区间为空（即找不到目标值）。

时间复杂度：二分查找的时间复杂度为 (O(\log n))，其中 (n) 是数组的元素个数。每次查找将查找范围缩小一半，因而效率较高。

在二分查找中，针对特定需求，常用的有以下三种方式：

（1）朴素二分查找：查找任意一个等于目标值的位置。

朴素二分查找模版

while (left <= right)//循环条件
{int mid = left + (right - left) / 2;//left + (right - left + 1) / 2也可if (...) left = mid + 1;else if (...) right = mid - 1;elsereturn ...}

（2）左端点二分查找：查找目标值的最左位置（即第一个出现的目标值）。

二分查找区间左端点

while (left < right)//判断条件不能等于
{int mid = left + (right - left) / 2;//只能是left + (right - left) / 2if (...) left = mid + 1;else right = mid;
}

（3）右端点二分查找：查找目标值的最右位置（即最后一个出现的目标值）。 

二分查找区间右端点

        //找右端点while (left < right)//判断条件不能等于{int mid = left + (right - left + 1) / 2;//只能是left + (right - left + 1) / 2if (...) left = mid;else right = mid - 1;}

二分查找不仅适用于有序数组，还适用于具有二段性的情况。二段性指的是一个序列被划分成两段：在某个位置之前满足某个条件，而在该位置之后不满足（或反之）。利用二分查找，能够高效地找到这个转折点。 

2.二分查找

1. 题目简介

2. 算法思想

暴力解法：遍历数组寻找目标值

二分查找：数组是升序的

（1）循环结束条件：left <= right

（2）中间值小于目标值，去右区间查找：mid < target  ->  left = mid + 1

中间值大于目标值，去左区间查找：mid > target  ->  right = mid - 1

中间值等于目标值：返回

3. 代码实现

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left <= right){int mid = left + (right - left)/2;//可防止溢出if (nums[mid] < target) left = mid + 1;else if (nums[mid] > target) right = mid - 1;else if (nums[mid] == target) return mid;}return -1;}
};

. - 力扣（LeetCode）

3.在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置

1. 题目简介

2. 算法思想

暴力解法：遍历数组，找到符合条件的区间

二分查找：有序数组，可以用二分查找，使用左右端点二分查找找到符合条件的区间的左右端点

（1）循环结束条件：left < right 

（2）找左端点

中间值小于目标值，找大：mid < target  ->  left = mid + 1

中间值大于目标值，找小：mid >= target  ->  right = mid

（3）找右端点

中间值小于目标值，找大：mid <= target  ->  left = mid

中间值大于目标值，找小：mid > target  ->  right = mid - 1

3. 代码实现

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {if (nums.size() == 0) return {-1, -1};int begin = 0;int left = 0, right = nums.size() - 1;//找左端点while (left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target) left = mid + 1;else right = mid;}if (nums[right] != target) return {-1, -1};else begin = left;right = nums.size() - 1;  //找右端点while (left < right){int mid = left + (right - left + 1) / 2;if (nums[mid] <= target) left = mid;else right = mid - 1;}return {begin, right};}
};

. - 力扣（LeetCode）

4. x的平安根

1. 题目简介

2. 算法思想

暴力解法：从1开始计算其平方，找到第一个平方大于target的数

二分查找：从1开始到x区间使用二分查找法，返回值左区间的元素平方小于等于x，右区间元素平方大于x。

（1）循环结束条件：left < right

（2）小于目标值，找大：mid * mid <= x  ->  left = mid 

大于目标值，找小：mid * mid > x  ->  right = mid - 1

3. 代码实现

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {if (x < 1) return 0;int left = 1, right = x;while (left < right){long long mid = left + (right - left + 1) / 2;if (mid * mid <= x) left = mid;else right = mid - 1;}return left;}
};

. - 力扣（LeetCode）

5. 搜索插入位置

1. 题目简介

2. 算法思想

暴力解法：遍历数组找到第一个比目标值大的元素的下标

二分查找：数组是升序的，我们要找的返回值是大于等于target的，因此将数组分为左右两个区间，左边区间小于target，右边区间大于等于target，，所以我们要找到右区间的左端点。

（1）循环结束条件：left < right

（2）中间值小于目标值，则应该找大：mid < target  ->  left = mid + 1

中间值大于目标值，找小：mid > target  ->  right = mid

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target) left = mid + 1;else right = mid; }if (nums[left] < target) return left + 1;else return left;}
};

. - 力扣（LeetCode）

6. 山脉数组的封顶索引

1. 题目简介

暴力解法：遍历数组寻找峰值

二分查找：数组具有二段性，arr[i] < arr[i + 1]，arr[i] > arr[i+ 1]

（1）循环结束条件：left < right

（2）处于升序部分：arr[mid] >= arr[mid - 1] left = mid;   

处于降序部分：arr[mid] < arr[mid - 1] right = mid - 1;

3. 代码实现

class Solution {
public:int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {int left = 1, right = arr.size() - 2;while (left < right){int mid = left + (right - left + 1) / 2;if (arr[mid] >= arr[mid - 1]) left = mid;else right = mid - 1;}return left;}
};

. - 力扣（LeetCode）

7. 寻找峰值

1. 题目简介

2. 算法思想

3. 代码实现

暴力解法：遍历数组，找到一个大于左右相邻值的元素

二分查找算法：找二段性，nums[-1] = nums[n] = -∞，arr[i] > arr[i + 1] 则左边一定存在峰值，

arr[i] < arr[i + 1] 则右边一定存在峰值。

（1）循环结束条件： left < right

（2）处于递减序列中：nums[mid] > nums[mid + 1] -> right = mid;

处于递增序列中：nums[mid] <= nums[mid + 1] -> left = mid + 1

class Solution {
public:int findPeakElement(vector<int>& nums) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left < right){long long mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] > nums[mid + 1]) right = mid;else left = mid + 1;}return right;}
};

8.搜索旋转排序数组中的最小值

1. 题目简介

2. 算法思想

暴力解法：遍历数组找到最小值

二分查找：找二段性，AB之间大于数组最后一个元素，CD之间小于等于D元素

（1）循环条件：left < right

（2）中间值大于D：left = mid + 1

中间值小于等于D：right = mid

 3. 代码实现

class Solution {
public:int findMin(vector<int>& nums) {int n = nums.size();int left = 0, right = n - 1;while (left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] > nums[n - 1]) left = mid + 1;else right = mid;}return nums[left];}
};

. - 力扣（LeetCode）

9. 0〜n-1 中缺失的数字

1. 题目简介

2. 算法思想

暴力解法：遍历数组，时间复杂度为O（n）

二分查找：找二段性，目标元素左边区间的元素和它们的下标相等，右边区间的元素比他们的下标大1

（1）循环结束条件：left < right

（2） 元素和下标相等：records[mid] == mid -> left = mid + 1;

不相等：right = mid;

3. 代码实现

class Solution {
public:int takeAttendance(vector<int>& records) {int left = 0, right = records.size() - 1;while (left < right){int mid = left + (right - left) / 2;if (records[mid] == mid) left = mid + 1;else right = mid;}if (records[left] == left) return left + 1;else return left;}
};

. - 力扣（LeetCode）