在之前的文章1中讨论了与循环坐标相对应的动量守恒定律和动量矩守恒定律，本文将由拉格朗日方程中导出能量函数，进一步讨论能量守恒定律，并给出耗散系统的处理方法，这其中用到的一个关键数学定理是欧拉定理（描述如何将一个齐次函数分解的定理）。

从如下拉格朗日量开始我们的讨论：
$$L(q_i,{\dot{q}}_i,t)$$

它对时间的全微分是：
$$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial L}{\partial t}+\sum _i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\frac{\mathrm{d}{\dot{q}}_i}{\mathrm{d}t}+\sum _i\frac{\partial L}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}{q}_i}{\mathrm{d}t}(2.49)$$

结合拉格朗日方程：
$$\sum _i\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}\right)=0(2.50)$$

由拉格朗日方程(2.50)可知：
$$\frac{\partial L}{\partial q_i}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}(2.50^{\prime })$$

代入(2.49)：
$$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial L}{\partial t}+\sum _i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\frac{\mathrm{d}{\dot{q}}_i}{\mathrm{d}t}+\sum _i{\dot{q}}_i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}(2.51)$$

(2.51)也可写为：
$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial L}{\partial t}+\sum _i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({\dot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)\Rightarrow \\ \frac{\partial L}{\partial t}+\sum _i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({\dot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-L\right)=0(2.51^{\prime }) \end{gathered}$$

根据(2.51’)，我们引入能量函数（energy function）：
$$h=\sum _i{\dot{q}}_i\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-L$$

于是(2.51’)写为：
$$-\frac{\partial L}{\partial t}=\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}$$

如果拉格朗日量$L$不显含时间$t$（即时间仅在$q_i$和${\dot{q}}_i$中隐含），则力学系统的能量守恒：
$$h=\mathrm{const}$$

通过拉格朗日函数的齐次分解，并采用欧拉定理（Euler’s theorem，见本文附录）对$h$进行分解，可以证明 $h=T+V$ 就是总机械能。于是我们得到结论：如果势函数不显含时间（即拉格朗日量也不显含时间），则力学系统的总机械能守恒。

2. 非保守系统（耗散函数为Rayleigh函数的情况）

对于非保守系统而言，摩擦力可以由耗散函数$\mathcal{F}$导出，并且很容易看出$\mathcal{F}$与$h$的衰减有关。当存在耗散力时，我们已经讨论了拉格朗日方程（文章1的(1.70)）：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=-\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial {\dot{q}}_j}(1.70)$$

与之相对应的使用$h$表述的方程为：
$$\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=\sum _j\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial {\dot{q}}_j}{\dot{q}}_j(2.59^{\prime })$$

已知耗散函数取Rayleigh函数时（文章1(1.67’)），$\mathcal{F}$是广义速度${\dot{q}}_j$的二次函数，因此可以对上式右端应用欧拉定理，等于$2\mathcal{F}$，于是(2.59’)写为：
$$\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-2\mathcal{F}$$

如果$L$不显含时间（即$\partial L/\partial t=0$），则耗散函数取Rayleigh函数时，机械能$h$的耗散速率是$2\mathcal{F}$。

附录：欧拉定理（Euler’s theorem）

欧拉定理给出了函数$f$的分解方法，它是说：如果有函数$f=f(x_i)$是$x_i$的$n$阶齐次函数，则$x_i$与$\partial f/\partial x_i$的乘积之和可以写为$nf$：
$$\sum _i{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=nf$$

参考资料

文章1：速度相关势和Rayleigh耗散势函数