解读AVL树：平衡二叉搜索树的奥秘

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前言：

前面我们已经介绍了二叉搜索树，今天我们要学习的AVL是一颗高度平衡的二叉搜索树，如何让一棵树保持平衡呢？欲知后事，请看下文。

 一.AVL树的概念

AVL树是最先发明的平衡二叉搜索树，AVL是一颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树：

1.它的左右子树都是AVL树

2.它的左右子树的高度差的绝对值不超过1

AVL树是一颗高度平衡的二叉搜索树，通过控制高度差去控制平衡。

二.平衡因子的概念

 AVL树实现这里我们引入一个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有一个平衡因子，平衡因子是指一个节点的右子树高度与左子树高度之差，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1(左右子树的高度差的绝对值不超过1)

AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像一个风向标一样。

思考一下为什么AVL树是高度平衡二叉搜索树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比如一棵树是2个结点，4个结点等情况下，无法做到高度差是0。

平衡因子以右子高度减去左子树高度为例。

AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可以控制在logN ，相比二叉搜索树有了本质的提升。

三.AVL树的实现

3.1AVL树的结构

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;//左子树AVLTreeNode<K, V>* _right;//右子树AVLTreeNode<K, V>* _parent;//父亲节点int _bf; // 平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public://...
private:Node * _root = nullptr;
};

3.2AVL树的插入

3.2.1 AVL树插入一个值的大概过程

1. 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。

2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子。

更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。

3. 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束。

4. 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树进行旋转。

旋转后将子树调平衡的同时降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

总结：

3.2.2平衡因子的更新

更新原则：

• 平衡因子 = 右子树高度-左子树高度

• 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子

• 插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在parent的左子树，parent平衡因子--

• parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新

示例一：

示例二：

更新停止条件：

1• 更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。

2• 更新后parent的平衡因子等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent子树两边一样高，新增的插入结点后，parent所在的子树一边高一边低，parent所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。

3• 更新后parent的平衡因子等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因子变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理。

旋转的目标有两个：

1、把parent子树旋转平衡。

2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。(插入之前是符合AVL树的要求的)

所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。

3.2.3插入节点及其更新平衡因子

把上面的更新过程理解清楚了，代码的实现就简单了。

//插入
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{//根为空要单独考虑if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){//往右走parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){//往左走parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//插入cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}//链接父亲cur->_parent = parent;//控制平衡//更新平衡因子while (parent){//新增节点在parent的左子树if (cur == parent->_left){parent->_bf--;//平衡因子--}else{//新增节点在parent的右子树parent->_bf++;//平衡因子++}//检查是否需要向上更新祖先的平衡因子if (parent->_bf == 0){//更新结束break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//新增的插入结点后,parent所在的子树符合平衡要求//但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了// 破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求// 需要旋转处理break;//旋转之后，就更新结束了}else{assert(false);}}return true;
}

3.3旋转

3.3.1 旋转的原则

旋转原则：

1. 保持搜索树的规则

2. 让旋转的树从不平衡变平衡，其次降低旋转树的高度

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

说明：下面的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这里是为了方便讲解，实际中是什么值都可以，只要大小关系符合搜索树的规则即可。

3.3.2右单旋

本图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根(在实现代码时，这里就是一个需要考虑的小细节）。

这里图一a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/图5进行了详细描述。

其中，parent是失衡节点，其左子树被命名为subL，其左子树的右子树被命名为subLR。

旋转规则如下：

1.将subLR链接到parent的左边。

2.将parent链接到subL的右边

3.将parent与sunL的平衡因子置为0

示例一：

示例二：

示例三：

示例四：

 如果去讨论插入前a/b/c是高度为4的AVL子树的话，情况更是多的数不胜数，不过我们不必纠结这个问题，因为我们已经给出了如图一所示的旋转模版，所有的情况都包含在内，我们只要掌握右旋的旋转规则就能解决问题。

实践：右单旋代码实现

void RotateR(Node* parent)
{//旋转Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;//更改_parent的指向if (subLR)//可能高度为0，如情况1{subLR->_parent = parent;}//提前记录parent的父亲节点,因为parent也可能是一整棵树中局部子树的根Node* Pparent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//parent之前可能是整棵树的根，也可能是一整棵树中局部的子树的根if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{//如果parent之前只是一颗树中局部的子树的根//我们就需要提前记录parent的_parentif (Pparent->_left == parent){Pparent->_left = subL;}else{Pparent->_right = subL;}subL->_parent = Pparent;//更新平衡因子subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}
}

3.3.3左单旋

本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上面右旋类似。

 其中，parent是失衡节点，其右子树被命名为subR，其右子树的左子树被命名为subRL。

旋转规则如下：

1.将subRL链接到parent的右边

2.将parent链接到subR的左边

3.将parent与subR的平衡因子置为0

我们不具体的向右旋那样，具体讨论了，下面我们去看几个例子，熟悉一下左旋的过程。

可以发现旋转之后，即保持了搜索树的规则又让旋转的树从不平衡变平衡，其次降低旋转树的高度。 

 实践：左单旋代码实现

	void RotateL(Node* parent){//旋转Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;//更新_parent的指向if (subRL)//可能高度为0{subRL->_parent = parent;}//	//提前记录parent的父亲节点,因为parent之前也可能是一整棵树中局部的子树的根Node* Pparent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//parent之前可能是整棵树的根，也可能是一整棵树中局部的子树的根if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{//如果parent之前只是一颗树中局部的子树的根//我们就需要提前记录parent的_parentif (Pparent->_left == parent){Pparent->_left = subR;}else{Pparent->_right = subR;}subR->_parent = Pparent;//更新平衡因子subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}}

3.3.4左右双旋

通过图7和图8可以看到，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，左单旋解决的纯粹的右边高，但是插入在b子树中，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行一个左单旋，以10为旋转点进行⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

 由图可以更加直观的看到，像这种不是纯粹的一边高的情况，只靠左旋/右旋是不能解决问题的。不仅树不平衡，我们在更新平衡因子的时候，也有错误。

那我们该如何是好呢？

对于这种情况我们需要先左单旋，再右单旋的方式，其中，失衡节点为parent，其左子树节点为subL,而有左子树的右子树为subLR。

其调整规则如下：

1.先对subL进行左旋

2.再对parent 进行右旋

3.调整平衡因子

下面我们具体看个示例。

但是新增节点的位置不同，平衡因子的更新也会有差异，这里我们分为三种情况。

1.当subLR = -1时，如上图所示，调整后subL = 0;subLR = 0;parent = 1。

2.当subLR= 0时，如下图所示，调整后subL = 0;subLR = 0;parent = 0。

3.当subLR = 1时，如下图所示，调整后subL = -1;subLR = 0;parent = 0。

实践：左右双旋代码实现

void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

 3.3.5右左双旋

和左右双旋的情况类似，当出现不是纯粹的某一边高时，仅仅使用一次单旋是解决不了问题的。例如对12而言是左边高，对8而言是右边高。我们就要先对12进行右旋，再对8进行左旋才能解决问题。

对于这种情况我们需要先右单旋，再左单旋的方式，设失衡节点为parent，其右子树节点为subR，而有右子树的左子树为subRL。

其调整规则如下：

先对subR进行右旋

再对parent进行左旋

调整平衡因子

我们针对上面的例子，具体实践看看。

 

但是新增节点的位置不同，平衡因子的更新也会有差异，这里我们分为三种情况。

1.当subRL = -1时，如上图所示，调整后subR = 1;subRL = 0;parent = 0。

2.当subRL = 0时，如下图所示，调整后subR = 0;subRL = 0;parent = 0。

3.当subRL = 1时，如下图所示，调整后subR = 0;subRL = 0;parent = -1。

实践：右左双旋代码实现

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else{assert(false);}
}

3.3.6插入完整代码

//插入
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{//根为空要单独考虑if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){//往右走parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){//往左走parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//插入cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}//链接父亲cur->_parent = parent;//控制平衡//更新平衡因子while (parent){//新增节点在parent的左子树if (cur == parent->_left){parent->_bf--;//平衡因子--}else{//新增节点在parent的右子树parent->_bf++;//平衡因子++}//检查是否需要向上更新祖先的平衡因子if (parent->_bf == 0){//更新结束break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//新增的插入结点后,parent所在的子树符合平衡要求//但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了// 破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求// 需要旋转处理if (parent->_bf == -2 && cur->_bf ==-1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;//旋转之后，就更新结束了}else{assert(false);}}return true;
}

3.4AVL树的查找

和二叉搜索树的查找逻辑一样，搜索效率为 O(logN)。

Node* Find(const k& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < key){cur=cur->_right}else{return cur;}}return nullptr;
}

3.5AVL树平衡检测

我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右子树高度差的的程序进行反向验证，同时检查一下结点的平衡因子更新是否出现了问题。

	int _Hight(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int LeftHight = _Hight(root->_left);int RightHight = _Hight(root->_right);return LeftHight > RightHight ? LeftHight + 1 : RightHight+1;}bool _IsBalanceTree(Node* root){//空树if (root == nullptr){return true;}int LeftHight = _Hight(root->_left);int RightHight = _Hight(root->_right);int diff = RightHight - LeftHight;if (abs(diff) >= 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}// root的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}

四.源码

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
#include<utility>using namespace std;template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;//左子树AVLTreeNode<K, V>* _right;//右子树AVLTreeNode<K, V>* _parent;//父亲节点int _bf; // 平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;public:AVLTree(){}AVLTree(const AVLTree& t){_root = copy(t._root);}Node* copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newnode = new Node(root->_kv);// 递归地拷贝原始根节点的左子树，并将结果赋给新节点的左指针newnode->_left = copy(root->_left);// 递归地拷贝原始根节点的右子树，并将结果赋给新节点的右指针newnode->_right = copy(root->_right);// 新节点的父节点默认为空newnode->_parent = nullptr;// 如果新节点的左子节点存在，设置其父节点为新节点if (newnode->_left){newnode->_left->_parent = newnode;}// 如果新节点的右子节点存在，设置其父节点为新节点if (newnode->_right){newnode->_right->_parent = newnode;}// 返回新树的根节点指针return newnode;}AVLTree<K, V>& operator=(const AVLTree <K, V> t){this->swap(_root, t._root);return *this;}~AVLTree(){Destroy(_root);}void Destroy(Node*& root){if (root == nullptr){return;}Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;root = nullptr;}//插入bool Insert(const pair<K, V>& kv){//根为空要单独考虑if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){//往右走parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){//往左走parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//插入cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}//链接父亲cur->_parent = parent;//控制平衡//更新平衡因子while (parent){//新增节点在parent的左子树if (cur == parent->_left){parent->_bf--;//平衡因子--}else{//新增节点在parent的右子树parent->_bf++;//平衡因子++}//检查是否需要向上更新祖先的平衡因子if (parent->_bf == 0){//更新结束break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//新增的插入结点后,parent所在的子树符合平衡要求//但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了// 破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求// 需要旋转处理if (parent->_bf == -2 && cur->_bf ==-1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;//旋转之后，就更新结束了}else{assert(false);}}return true;}void RotateR(Node* parent){//旋转Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;//更改_parent的指向if (subLR)//可能高度为0，如情况1{subLR->_parent = parent;}//提前记录parent的父亲节点,因为parent也可能是一整棵树中局部子树的根Node* Pparent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//parent之前可能是整棵树的根，也可能是一整棵树中局部的子树的根if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{//如果parent之前只是一颗树中局部的子树的根//我们就需要提前记录parent的_parentif (Pparent->_left == parent){Pparent->_left = subL;}else{Pparent->_right = subL;}subL->_parent = Pparent;//更新平衡因子subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}}void RotateL(Node* parent){//旋转Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;//更新_parent的指向if (subRL)//可能高度为0{subRL->_parent = parent;}//	//提前记录parent的父亲节点,因为parent之前也可能是一整棵树中局部的子树的根Node* Pparent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//parent之前可能是整棵树的根，也可能是一整棵树中局部的子树的根if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{//如果parent之前只是一颗树中局部的子树的根//我们就需要提前记录parent的_parentif (Pparent->_left == parent){Pparent->_left = subR;}else{Pparent->_right = subR;}subR->_parent = Pparent;//更新平衡因子subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else{assert(false);}}Node* Find(const K & key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else{return cur;}}return nullptr;}int Height(){return _Height(this->_root);}int Size(){return _Size(this->_root);}/* bool isBalanceTree(){return IsBalanceTree(this->_ root);}*/void inOrder(){InOrder(this->_root);cout << endl;}private:void InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;InOrder(root->_right);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int LeftHeight = _Height(root->_left);int RightHeight = _Height(root->_right);return LeftHeight > RightHeight ? LeftHeight + 1 : RightHeight+1;}bool IsBalanceTree(Node* root){//空树if (root == nullptr){return true;}int LeftHeight = _Height(root->_left);int RightHeight = _Height(root->_right);int diff = RightHeight - LeftHeight;if (abs(diff) >= 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}// root的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树return IsBalanceTree(root->_left) && IsBalanceTree(root->_right);}int _Size(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}private:Node* _root = nullptr;
};

总结：

AVL的旋转难题，我们已经解决了，下面我们就要进入红黑树了，红黑树也是一个平衡二叉搜索树，就让我们一起去看看是怎么回事吧。

感谢各位大佬的观看，创作不易，还请各位大佬点赞支持~

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6,000 个网站上的假 WordPress 插件提示用户安装恶意软件

6,000 个网站上的假 WordPress 插件提示用户安装恶意软件

黑客使用窃取的凭证感染 WordPress 网站&#xff0c;并向其发送虚假插件&#xff0c;通过虚假的浏览器更新提示向最终用户发送恶意软件和信息窃取程序。 该恶意活动基于ClickFix假浏览器更新恶意软件的新变种&#xff0c;自 2024 年 6 月以来已使用假 WordPress 插件感染了超过…
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放大器和基本运放电路的公式推导

放大器和基本运放电路的公式推导

放大器和基本运放电路的公式推导 放大器全家谱运放的渊源和数学分析基本运放电路的公式推导预备知识基本特性跟随器特性比较器特性 基本运放电路反相放大器&#xff08;反比例运算放大器&#xff09;同相放大器&#xff08;正比例运算放大器&#xff09;反相加法器同相加法器减…
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Python条形图 | 指标（特征）重要性图的绘制

Python条形图 | 指标（特征）重要性图的绘制

在数据科学和机器学习的工作流程中&#xff0c;特征选择是一个关键步骤。通过评估每个特征对模型预测能力的影响&#xff0c;我们可以选择最有意义的特征&#xff08;指标&#xff09;&#xff0c;从而提高模型的性能并减少过拟合。本文将介绍如何使用 Python 的 Seaborn 和 Ma…
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go 使用fyne实现桌面程序的计算器例子

go 使用fyne实现桌面程序的计算器例子

使用Fyne工具包构建跨平台应用是非常简单的&#xff0c;在此之前我们需要做一些准备功能做&#xff0c;比如安装一些gcc基础图形依赖库&#xff0c;还有go语言本身的运行开发环境都是必要的。 在此之前我们希望你是go语言的已入门用户&#xff0c;掌握go的协程&#xff0c;管道…
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Linux基础知识 - C(自学使用)

Linux基础知识 - C(自学使用)

1.C语言基础知识 参考博客&#xff1a; https://blog.csdn.net/qq_45254369/article/details/126023482?ops_request_misc%257B%2522request%255Fid%2522%253A%252277629891-A0F3-4EFC-B1AC-410093596085%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334.pc%255Fblog.%…
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Xcode文件默认存储位置-使用c++file保存文件默认路径以及设置为路径为当前项目路径

Xcode文件默认存储位置-使用c++file保存文件默认路径以及设置为路径为当前项目路径

Xcode文件默认存储位置-使用cfile保存文件默认路径以及设置为路径为当前项目路径 1.概述 使用Xcode工具开发时候&#xff0c;遇到C调用file创建文件后&#xff0c;在当前项目中找不到文件路径。这是由于xcode会将文件保存到默认设置的路径。下面是查看文件默认存储路径和修改…
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DC-9靶场渗透

DC-9靶场渗透

靶机&#xff1a;DC-9 DC: 9 ~ VulnHub 攻击机&#xff1a;kail linux 2024 1,将两台虚拟机网络连接都改为NAT模式&#xff0c;并查看DC-9的MAC地址 2&#xff0c;进行主机扫描&#xff0c;通过MAC地址发现靶机的IP地址 攻击机IP地址192.168.23.169&#xff0c;靶机IP地址192.1…
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MySQL-存储过程/函数/触发器

MySQL-存储过程/函数/触发器

文章目录 什么是存储过程存储过程的优缺点存储过程的基本使用存储过程的创建存储过程的调用存储过程的删除存储过程的查看delimiter命令 MySQL中的变量系统变量用户变量局部变量参数 if语句case语句while循环repeat循环loop循环游标cursor捕获异常并处理存储函数触发器触发器概…
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16. 虚拟化

16. 虚拟化

文章目录 第16章 虚拟化16.1 共享资源16.2 虚拟机16.3 虚拟机镜像16.4 容器16.5 容器和虚拟机16.6 容器的可移植性16.7 Pod&#xff08;容器组&#xff09;16.8 无服务器架构16.9 小结16.10 扩展阅读16.11 问题讨论 第16章 虚拟化 “虚拟”意味着永远不知道你的下一个字节从哪里…
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SpringBoot poi-tl通过模板占位符生成word文件

SpringBoot poi-tl通过模板占位符生成word文件

简介&#xff1a; 开发中我们需要通过在word中使用占位符来动态渲染一些数据&#xff0c;本文讲解poi-tl实现动态生成word文档&#xff0c;包括表格循环&#xff0c;对象嵌套。 poi-tl官网文档 Poi-tl Documentation 1. word格式 这是我的test.word 这是导出后的out.docx文件 …
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UE4 材质学习笔记12（水体反射和折射）

UE4 材质学习笔记12（水体反射和折射）

一.水体反射和折射 首先就是要断开所有连接到根节点的线&#xff0c;因为水有很多不同的节点成分&#xff0c;当所有其他节点都在用时 要分辨出其中一个是何效果是很难的。 虚幻有五种不同的方法可以创建反射&#xff0c;虚幻中的大多数场景使用多种这些方法 它们会同时运作。…
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ctfshow-文件上传-151-161

ctfshow-文件上传-151-161

CTFshow文件上传 PHP文件上传&#xff1a;1、代码思路 黑名单是设置不能通过的用户&#xff0c;黑名单以外的用户都能通过。 phtml、pht、php3、php4、php5后缀都会按做php文件执行&#xff0c;且不在黑名单内。 2、绕过 找漏网之鱼:cer、php3、php4、phtml等。 大小写绕…
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