放大器和基本运放电路的公式推导

放大器和基本运放电路的公式推导

  • 放大器全家谱
  • 运放的渊源和数学分析
  • 基本运放电路的公式推导
    • 预备知识
    • 基本特性
      • 跟随器特性
      • 比较器特性
    • 基本运放电路
      • 反相放大器(反比例运算放大器)
      • 同相放大器(正比例运算放大器)
      • 反相加法器
      • 同相加法器
      • 减法器(差分放大器)
      • 积分器
      • 微分器
    • 电压增益、功率增益和放大倍数
      • 增益与放大倍数含义
      • 电压增益与功率增益的关系
    • 电压放大倍数与增益db换算
      • 换算公式
      • 增益dB的定义和计算方法
      • 增益dB与放大倍数的具体关系

放大器全家谱

放大器分为3种,晶体管放大器、运算放大器和功能放大器在这里插入图片描述

运放的渊源和数学分析

设计并生产一种指定增益的放大器,并把它封装在一个集成电路中,形成傻瓜型应用,对集成电路生产商来说,是极为简单的。但是,困难的是,厂商得准备多少种增益选择呢?从 1 倍开始,1.1,1.2,要不要准备 1.05 倍呢?

数学家早已解决了这个问题。按照负反馈理论,集成电路生产商只需要生产满足如下要求的集成放大器,称之为运算放大器,即可实现用户的一切要求:

  • 运放的开环增益非常大,即图 1-2 中𝐴uo很大。
  • 运放的输入端没有电流,即运放具有极高的输入阻抗

在这里插入图片描述
图 1-2(a)是一个满足要求的运放,但它几乎不能正常使用。因为开环增益实在太大了,输入信号得多么小,才能让输出稳定呢?图 1-2(b)把输出端通过两个电阻分压,引回到了负输入端,形成了负反馈。根据数学家要求的条件,有下式成立:
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两个独立的方程,三个未知量,可以解得任意两个未知量之间的关系,得到
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其中𝐴uf称为闭环增益,就是运放组成负反馈电路后的电压增益。当𝐴uo很大时,得到
在这里插入图片描述
式(1-3a)说明,当满足数学家提出的条件后,该负反馈电路的增益仅与外部电阻 R2、RF有关,而与实际运放的开环增益𝐴uo没有什么关系。这太好了,运放生产商可以甩开膀子大干了,管它𝐴uo具体多大呢,只要足够大就可以了。用户想要多大的增益,你自己选择合适的电阻就可以了。

式(1-3b)说明,运放在这种情况下,同相输入端加载的是信号 Us,那么反相输入端呈现出的电位就一定非常接近于 US,即 UIN-约等于UIN+,这就是我们常说的“虚短”。从电位上看,运放的两个输入端等电位,似乎短接一般。请千万注意,“虚短”不是运放本身的特性,而是深度负反馈导致的必然结果。

为了更直观,我们假设 R2=1kΩ,RF=3kΩ,然后看看 Auo从 10 变到 1000000,闭环增益和虚短情况。
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可以清晰看出,随着𝐴uo越来越大,使用式(1-3)得到的估算结果,与使用式(1-2)得到的精算结果,越来越接近。

从 1960 年代中期第一颗运放 μA709 诞生至今,负反馈理论就一直伴随着运放的应用。图 1-2(b)电路中,用户需要的指标都可以简单实现:

  • 闭环电压增益约为 1+RF/R2,用户自己选择电阻实现。
  • 输入阻抗等于 R1。
  • 输出阻抗等于 Ro。

在那个辉煌的年代,诞生了很多关于运算放大器的故事。让我们记住几个名字,第一家推出运放的公司:Fairchild—美国仙童公司,设计第一款运放 μA709 的,桀骜不驯的Robert J. (Bob) Widlar。此后几十年至今,各个公司兴衰轮回,设计者各领风骚,营造了一个庞大的半导体模拟世界。

基本运放电路的公式推导

预备知识

  • 1、对于反相与输出之间有直连或通过电阻电容相连(负反馈),那么符合V+=V-,即相对于电压来说,同相与反相电压相等,可以看似短路,即 “虚短”原则。
  • 2、对于任何运放,输入阻抗无穷大,那么,符合I+=I−=0,即相对于电流来说,同相与反相电流相等且为0,可以看似断路,即 “虚断”原则。
  • 3、运算放大器输出最大最小值由运放芯片的供电决定,例如运放供电是GND和5V,那么输出范围是0~5V,若供电是±5V,那么输出范围也是±5V。(不再在例子中体现,无特别说明,默认输入信号在运放供电范围内)。
  • 4、基尔霍夫电流定律KCL:对于节点来说,Σ流入电流=Σ流出电流。
  • 5、基尔霍夫电压定律KVL:对于闭合回路来说,Σ各元件电压=0
  • 6、具备以下数学知识
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基本特性

跟随器特性

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如上图,根据预备知识的第1点,可知V+=V−,而反相端直连输出,因此 V1=V2,即输入电压等于输出电压。

比较器特性

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假设运放供电电压是±5V,如上图得到3种比较输出结果:
1、当V−>V+,输出运放GND的电位,即 -5V。
2、当V−<V+,输出运放VCC的电位,即 +5V。
3、当V−=V+,输出是随机值电压。

基本运放电路

反相放大器(反比例运算放大器)

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其作用是将输入信号反相,公式推导如下:
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同相放大器(正比例运算放大器)

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其作用是将输入信号成倍数放大,且是正向,公式推导如下:
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反相加法器

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公式推导如下:
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同相加法器

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公式推导如下:
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减法器(差分放大器)

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公式推导如下:
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积分器

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公式推导如下:
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微分器

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公式推导如下:
在这里插入图片描述

电压增益、功率增益和放大倍数

增益与放大倍数含义

增益(Gain):在电子学上的一般含义简而言之就是放大倍数。放大器增益,表示放大器功率放大倍数,以输出功率同输入功率比值的常用对数表示等。

放大倍数 : 增益是放大倍数另外一种表达方式
在这里插入图片描述

电压增益与功率增益的关系

在这里插入图片描述

电压放大倍数与增益db换算

换算公式

‌‌电压放大倍数与‌增益dB之间的换算公式为20lg(‌Vo/Vi),其中Vo为放大信号输出,Vi为信号输入‌。这个公式表示的是电压放大倍数转换为‌分贝(dB)的换算关系。‌

增益dB的定义和计算方法

增益dB是放大器输出与输入的比值的对数表示,单位为分贝(dB)。当使用分贝作为单位时,放大倍数称为增益。增益的计算公式可以根据电压或功率的不同进行区分:

  • 电压放大倍数的分贝数定义:K=20lg(Vo/Vi)
  • 功率放大倍数的分贝数定义:K=10lg(Po/Pi)

其中,K为分贝数,Vo为放大信号输出,Vi为信号输入,Po为放大信号输出,Pi为信号输入。

增益dB与放大倍数的具体关系

增益dB与放大倍数之间存在直接的关系。增益dB大于0表示信号被放大,增益dB等于0表示信号直通,增益dB小于0表示信号被衰减。具体的换算关系如下:

  • 14dB对应放大5倍
  • 20dB对应放大10倍
  • 26dB对应放大20倍。

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