数据结构第26节 广度优先搜索

广度优先搜索（Breadth-First Search，简称BFS）是一种用于遍历或搜索树或图数据结构的算法。其主要特性是以层级顺序遍历图的所有节点，从一个指定的起点开始，首先访问所有直接相连的邻居节点，然后再访问它们的邻居，以此类推，直至遍历完所有的可达节点。

BFS的工作原理：

  1. 选择起点：BFS从一个指定的起点开始。

  2. 初始化队列：创建一个空队列，并将起点插入队列中。

  3. 标记节点：起点被标记为“已访问”，以避免重复访问。

  4. 遍历队列：从队列中取出第一个节点，并访问它所有未被访问过的邻居节点。将这些邻居节点标记为“已访问”并插入队列的末尾。

  5. 重复过程：继续从队列中取出下一个节点，重复步骤4，直到队列为空。

  6. 终止条件：当队列为空时，算法结束，此时所有可达的节点都被遍历过了。

时间复杂度：

BFS的时间复杂度通常是O(V + E)，其中V是图中的顶点数，E是边的数量。这是因为每个顶点和每条边都会被访问一次。

空间复杂度：

BFS的空间复杂度取决于队列的最大大小，最坏情况下，如果所有的节点都在队列中，则空间复杂度为O(V)。

应用场景：

  • 最短路径：在无权图或权重相等的图中寻找两个节点之间的最短路径。
  • 连通性：确定图是否连通，以及找出连通分量。
  • 层次遍历：在树形结构中，按层次顺序访问节点。
  • 拓扑排序：在有向无环图中进行排序。
  • 迷宫求解：寻找从起点到终点的路径。
  • 社交网络分析：例如计算用户之间的距离或找到共同朋友。

实现示例：

下面是一个使用Python实现的BFS算法示例，用于在图中寻找两个顶点之间的路径：

from collections import dequedef bfs(graph, start, goal):# 创建一个队列并插入起点queue = deque([start])# 创建一个字典来存储每个节点的父节点parents = {start: None}while queue:current = queue.popleft()if current == goal:# 目标节点已找到，构建并返回路径path = []while current is not None:path.append(current)current = parents[current]return list(reversed(path))# 遍历当前节点的所有邻居for neighbor in graph[current]:if neighbor not in parents:# 标记邻居节点，并将其父节点设为当前节点parents[neighbor] = currentqueue.append(neighbor)# 如果没有找到目标节点return None

在上述示例中，graph是一个邻接列表，表示图的结构，start和goal分别表示起点和终点。该函数返回从start到goal的路径，如果没有找到路径则返回None。

广度优先搜索（Breadth-First Search，简称BFS）是一种用于遍历或搜索树或图数据结构的算法。在游戏开发中，BFS经常用来解决诸如寻路、迷宫求解、计算连通性、寻找最近的敌人或资源点等问题。

下面我将以一个典型的迷宫游戏作为案例，来详细讲解如何在Java中实现广度优先搜索。

游戏案例：迷宫寻路

假设我们有一个二维迷宫，由一系列的格子组成，每个格子可以是墙或者空地。玩家需要从起点找到到达终点的最短路径。我们可以使用BFS来解决这个问题。

1. 定义迷宫

首先，我们需要定义迷宫的结构。我们可以用一个二维数组来表示迷宫，其中0代表可通行的空地，1代表墙。

int[][] maze = {{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1},{1, 0, 0, 0, 0, 0, 1},{1, 0, 1, 1, 1, 0, 1},{1, 0, 0, 0, 0, 0, 1},{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}
};
2. 定义节点类

为了存储迷宫中的每个位置状态，我们需要创建一个节点类，包含位置坐标和从起点到该位置的距离。

class Node {int x;int y;int distance;Node(int x, int y, int distance) {this.x = x;this.y = y;this.distance = distance;}
}
3. 实现BFS

接下来，我们实现BFS算法。我们将使用队列来存储待访问的节点，并且维护一个布尔型的二维数组来标记已经访问过的节点。

public static boolean bfs(int[][] maze, int startX, int startY, int endX, int endY) {// 队列用于存储待访问的节点Queue<Node> queue = new LinkedList<>();// 标记哪些节点已经被访问过boolean[][] visited = new boolean[maze.length][maze[0].length];// 将起点加入队列并标记为已访问queue.add(new Node(startX, startY, 0));visited[startX][startY] = true;// 方向数组，用于四个方向的移动int[][] directions = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};while (!queue.isEmpty()) {Node current = queue.poll();// 如果找到了终点，返回trueif (current.x == endX && current.y == endY) {System.out.println("Shortest distance: " + current.distance);return true;}// 检查四个方向for (int[] dir : directions) {int newX = current.x + dir[0];int newY = current.y + dir[1];// 检查新位置是否在迷宫内并且未被访问过if (newX >= 0 && newX < maze.length && newY >= 0 && newY < maze[0].length &&maze[newX][newY] == 0 && !visited[newX][newY]) {// 将新位置加入队列并标记为已访问queue.add(new Node(newX, newY, current.distance + 1));visited[newX][newY] = true;}}}// 如果没有找到路径，返回falsereturn false;
}
4. 调用BFS

最后，我们可以在主函数中调用bfs方法，传入迷宫和起点、终点的坐标。

public static void main(String[] args) {int[][] maze = {// 迷宫数组};boolean found = bfs(maze, 1, 1, maze.length - 2, maze[0].length - 2);if (!found) {System.out.println("No path found.");}
}

这个算法可以确保找到从起点到终点的最短路径，如果存在多条最短路径，它会返回其中任意一条。

让我们将上述概念转化为一个完整的Java程序。我们将添加一些额外的功能，比如输出路径，以及处理没有找到路径的情况。以下是一个完整的示例代码：

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;public class MazeSolver {private static final int WALL = 1;private static final int PATH = 0;public static void main(String[] args) {int[][] maze = {{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1},{1, 0, 0, 0, 0, 0, 1},{1, 0, 1, 1, 1, 0, 1},{1, 0, 0, 0, 0, 0, 1},{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}};int startX = 1, startY = 1;int endX = maze.length - 2, endY = maze[0].length - 2;if (bfs(maze, startX, startY, endX, endY)) {printPath(maze, startX, startY, endX, endY);} else {System.out.println("No path found.");}}public static boolean bfs(int[][] maze, int startX, int startY, int endX, int endY) {Queue<Node> queue = new LinkedList<>();boolean[][] visited = new boolean[maze.length][maze[0].length];queue.add(new Node(startX, startY, 0));visited[startX][startY] = true;int[][] directions = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};while (!queue.isEmpty()) {Node current = queue.poll();if (current.x == endX && current.y == endY) {setPath(maze, current);return true;}for (int[] dir : directions) {int newX = current.x + dir[0];int newY = current.y + dir[1];if (isValidMove(maze, newX, newY, visited)) {queue.add(new Node(newX, newY, current.distance + 1));visited[newX][newY] = true;// Store the previous node to reconstruct the path latermaze[newX][newY] = current.distance + 1;}}}return false;}public static boolean isValidMove(int[][] maze, int x, int y, boolean[][] visited) {return x >= 0 && x < maze.length && y >= 0 && y < maze[0].length &&maze[x][y] == PATH && !visited[x][y];}public static void setPath(int[][] maze, Node endNode) {int x = endNode.x;int y = endNode.y;while (maze[x][y] != 0) {maze[x][y] = 2; // Mark the path with 2int prevDist = maze[x][y] - 1;for (int i = -1; i <= 1; i++) {for (int j = -1; j <= 1; j++) {if (i == 0 || j == 0) {int newX = x + i;int newY = y + j;if (newX >= 0 && newX < maze.length && newY >= 0 && newY < maze[0].length &&maze[newX][newY] == prevDist) {x = newX;y = newY;break;}}}}}}public static void printPath(int[][] maze, int startX, int startY, int endX, int endY) {System.out.println("Path from (" + startX + ", " + startY + ") to (" + endX + ", " + endY + "):");for (int[] row : maze) {for (int cell : row) {switch (cell) {case WALL:System.out.print("# ");break;case PATH:System.out.print(". ");break;case 2:System.out.print("* ");break;default:System.out.print("S ");}}System.out.println();}}static class Node {int x;int y;int distance;Node(int x, int y, int distance) {this.x = x;this.y = y;this.distance = distance;}}
}

在这个版本中，我们增加了以下功能：

  1. setPath 方法用于在找到路径后，通过回溯从终点到起点的节点距离来标记出整个路径。
  2. printPath 方法用于打印迷宫，包括起点、终点和找到的路径。
  3. isValidMove 方法用于检查下一步移动是否有效，即不超出迷宫边界、不是墙壁、且尚未访问过。

这样，我们不仅能够找出从起点到终点的最短路径，还可以在迷宫中可视化这条路径。

为了进一步完善代码，我们可以做以下几点改进：

  1. 错误处理：增加对输入参数的检查，确保迷宫和起始/结束点的有效性。
  2. 性能优化：在bfs中，我们使用距离来追踪路径，这在小规模迷宫中可行，但在大规模迷宫中可能占用大量内存。我们可以改用前驱节点的方式，这样只需存储每个节点的前一个节点即可。
  3. 代码清晰性：分离关注点，比如将路径设置逻辑独立出来。

下面是根据这些改进后的代码：

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;public class MazeSolver {private static final int WALL = 1;private static final int PATH = 0;private static final int START = 3;private static final int PATH_MARK = 2;public static void main(String[] args) {int[][] maze = {{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1},{1, 0, 0, 0, 0, 0, 1},{1, 0, 1, 1, 1, 0, 1},{1, 0, 0, 0, 0, 0, 1},{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}};int startX = 1, startY = 1;int endX = maze.length - 2, endY = maze[0].length - 2;if (validateMaze(maze, startX, startY, endX, endY)) {if (bfs(maze, startX, startY, endX, endY)) {printPath(maze, startX, startY, endX, endY);} else {System.out.println("No path found.");}} else {System.out.println("Invalid maze or start/end points.");}}private static boolean validateMaze(int[][] maze, int startX, int startY, int endX, int endY) {return startX >= 0 && startY >= 0 && endX >= 0 && endY >= 0 &&startX < maze.length && startY < maze[0].length &&endX < maze.length && endY < maze[0].length &&maze[startX][startY] == PATH && maze[endX][endY] == PATH;}public static boolean bfs(int[][] maze, int startX, int startY, int endX, int endY) {Queue<Node> queue = new LinkedList<>();boolean[][] visited = new boolean[maze.length][maze[0].length];int[][] predecessors = new int[maze.length][maze[0].length];for (int[] row : predecessors) {java.util.Arrays.fill(row, -1);}queue.add(new Node(startX, startY, null));visited[startX][startY] = true;int[][] directions = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};while (!queue.isEmpty()) {Node current = queue.poll();if (current.x == endX && current.y == endY) {setPath(predecessors, current);return true;}for (int[] dir : directions) {int newX = current.x + dir[0];int newY = current.y + dir[1];if (isValidMove(maze, newX, newY, visited)) {queue.add(new Node(newX, newY, current));visited[newX][newY] = true;predecessors[newX][newY] = current.distance;}}}return false;}public static boolean isValidMove(int[][] maze, int x, int y, boolean[][] visited) {return x >= 0 && x < maze.length && y >= 0 && y < maze[0].length &&maze[x][y] == PATH && !visited[x][y];}public static void setPath(int[][] predecessors, Node endNode) {int x = endNode.x;int y = endNode.y;while (predecessors[x][y] != -1) {Node prev = predecessors[x][y];maze[x][y] = PATH_MARK; // Mark the path with 2x = prev.x;y = prev.y;}maze[x][y] = START; // Mark the start point}public static void printPath(int[][] maze, int startX, int startY, int endX, int endY) {System.out.println("Path from (" + startX + ", " + startY + ") to (" + endX + ", " + endY + "):");for (int[] row : maze) {for (int cell : row) {switch (cell) {case WALL:System.out.print("# ");break;case PATH:System.out.print(". ");break;case PATH_MARK:System.out.print("* ");break;case START:System.out.print("S ");break;default:System.out.print(" ");}}System.out.println();}}static class Node {int x;int y;Node distance;Node(int x, int y, Node distance) {this.x = x;this.y = y;this.distance = distance;}}
}

在这个版本中，我们进行了以下改进：

  • 使用predecessors数组来存储每个节点的前驱节点，而不是其距离。
  • 在setPath方法中，我们通过遍历predecessors数组来重构路径。
  • 添加了validateMaze方法来确保迷宫和起始/结束点的有效性。

这样，我们的代码现在更加健壮，更易于理解和维护。

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