详解一下马拉车算法 Manache算法使用c++

马拉车算法是寻找最长回文子串的高效算法，时间复杂度为O（n）

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;string longestPalindrome(string s) {// 步骤1: 预处理，在字符间插入特殊字符'#'string t = "#";for (char c : s) {t += c;t += "#";}// 步骤2: 初始化变量int n = t.length();vector<int> P(n, 0);  // P[i]存储以i为中心的回文半径int C = 0;  // 当前回文串的中心int R = 0;  // 当前回文串的右边界int maxLen = 0;  // 最长回文子串的长度int centerIndex = 0;  // 最长回文子串的中心位置// 步骤3: 主循环，计算每个位置的回文半径for (int i = 0; i < n; i++) {// 确定初始回文半径if (i < R) {int mirror = 2 * C - i;  // i关于C的对称点P[i] = min(R - i, P[mirror]);  // 利用对称性}// 尝试扩展回文int a = i + (1 + P[i]);int b = i - (1 + P[i]);while (a < n && b >= 0 && t[a] == t[b]) {P[i]++;a++;b--;}// 更新C和Rif (i + P[i] > R) {C = i;R = i + P[i];}// 更新最长回文子串信息if (P[i] > maxLen) {maxLen = P[i];centerIndex = i;}}// 步骤4: 提取最长回文子串int start = (centerIndex - maxLen) / 2;return s.substr(start, maxLen);
}int main() {string s = "babad";cout << "输入字符串: " << s << endl;cout << "最长回文子串: " << longestPalindrome(s) << endl;return 0;
}

1.首先要进行预处理在每个字符之间添加"#",这样就可以统一处理奇数和偶数的字符串

2.变量有,回文半径组p,回文中心c,右边界r.

Manacher算法的核心思想是利用已经计算出的回文信息来避免重复计算。通过维护当前最右的回文边界，算法可以在大多数情况下直接得到一个很好的初始回文半径.

为了体现高继承性,下面我多使用了类来解答马拉车算法

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>class Manacher {
private:std::string original;  // 原始字符串std::string processed; // 预处理后的字符串std::vector<int> palindromeLengths; // 回文长度数组int maxPalindromeLength; // 最长回文子串的长度int maxPalindromeCenter; // 最长回文子串的中心位置// 预处理字符串，在字符间插入特殊字符'#'void preprocess() {processed = "#";for (char c : original) {processed += c;processed += "#";}}// 核心Manacher算法void computePalindromeLengths() {int n = processed.length();palindromeLengths.resize(n, 0);int center = 0;  // 当前回文串的中心int right = 0;   // 当前回文串的右边界for (int i = 0; i < n; i++) {// 利用对称性初始化回文长度if (i < right) {int mirror = 2 * center - i;palindromeLengths[i] = std::min(right - i, palindromeLengths[mirror]);}// 尝试扩展回文int a = i + (1 + palindromeLengths[i]);int b = i - (1 + palindromeLengths[i]);while (a < n && b >= 0 && processed[a] == processed[b]) {palindromeLengths[i]++;a++;b--;}// 更新中心和右边界if (i + palindromeLengths[i] > right) {center = i;right = i + palindromeLengths[i];}// 更新最长回文子串信息if (palindromeLengths[i] > maxPalindromeLength) {maxPalindromeLength = palindromeLengths[i];maxPalindromeCenter = i;}}}public:// 构造函数Manacher(const std::string& s) : original(s), maxPalindromeLength(0), maxPalindromeCenter(0) {preprocess();computePalindromeLengths();}// 获取最长回文子串std::string getLongestPalindrome() {int start = (maxPalindromeCenter - maxPalindromeLength) / 2;return original.substr(start, maxPalindromeLength);}// 获取所有回文子串的数量int countAllPalindromes() {int count = 0;for (int length : palindromeLengths) {count += (length + 1) / 2;}return count;}// 判断子串是否为回文bool isPalindrome(int start, int end) {int len = end - start + 1;int center = start + end + 1; // 在processed字符串中的中心位置return palindromeLengths[center] >= len;}
};int main() {std::string s = "babad";Manacher manacher(s);std::cout << "输入字符串: " << s << std::endl;std::cout << "最长回文子串: " << manacher.getLongestPalindrome() << std::endl;std::cout << "回文子串的总数: " << manacher.countAllPalindromes() << std::endl;std::cout << "子串'bab'是否为回文: " << (manacher.isPalindrome(0, 2) ? "是" : "否") << std::endl;return 0;
}

最后让我详细解释一下为什么在预处理字符串中，每个回文长度对应原字符串中的 (length + 1) / 2 个不同回文。

预处理字符串的特性：
- 在预处理后的字符串中，每个原始字符之间都插入了 '#'。
- 这意味着预处理字符串的长度是原始字符串长度的两倍加一。
回文中心的两种情况：
- 在原字符串中，回文中心可能在字符上，也可能在字符之间。
- 在预处理字符串中，所有可能的回文中心都变成了字符位置（包括 '#'）。
回文长度的对应关系：
- 预处理字符串中长度为 1 的回文对应原字符串中长度为 1 的回文。
- 预处理字符串中长度为 3 的回文对应原字符串中长度为 2 的回文。
- 预处理字符串中长度为 5 的回文对应原字符串中长度为 3 的回文。
- 以此类推...
计算公式的推导：
- 设预处理字符串中的回文长度为 length。
- 对应的原字符串回文长度为 (length + 1) / 2。
- 例如：
  - length = 1 时，原字符串回文长度 = (1 + 1) / 2 = 1
  - length = 3 时，原字符串回文长度 = (3 + 1) / 2 = 2
  - length = 5 时，原字符串回文长度 = (5 + 1) / 2 = 3
为什么是不同的回文：
- 在预处理字符串中，每个位置为中心的最长回文都是唯一的。
- 这个最长回文包含了以该中心的所有较短回文。
举例说明：考虑原字符串 "ababa" 和预处理字符串 "#a#b#a#b#a#"：
- 对于中心位置 5（原字符串中的中间 'a'）：
  - 回文长度为 5，对应原字符串中 "ababa"
  - 回文长度为 3，对应原字符串中 "aba"
  - 回文长度为 1，对应原字符串中 "a"
- 这三个回文都是不同的，且都以这个 'a' 为中心。
公式的应用：
- 对于长度为 5 的回文，(5 + 1) / 2 = 3，正好对应这个中心位置的 3 个不同回文。