1、L1范数和L2范数是机器学习和数据分析中经常使用的两种范数，它们之间存在多个方面的区别。

以下是关于L1范数和L2范数区别的详细解释：

一、定义差异

• L1范数：也被称为曼哈顿范数，是向量元素的绝对值之和。对于一个n维向量x，其L1范数表示为：||x||₁ = |x₁| + |x₂| + ... + |xₙ|。
• L2范数：也被称为欧几里得范数，是向量元素的平方和的平方根。对于一个n维向量x，其L2范数表示为：||x||₂ = √(x₁² + x₂² + ... + xₙ²)。

二、几何特性

• 在二维空间中，L1范数的单位球是一个菱形，而L2范数的单位球是一个圆。这种几何形状的差异反映了两种范数在向量空间中的不同约束方式。

三、稀疏性

• L1范数：由于其性质，L1范数在某些优化问题中会导致解向量的稀疏性，即解的许多组件为零。这种特性使得L1范数常用于特征选择，因为它可以自动将不重要的特征系数置为零。
• L2范数：不具有稀疏性特点。L2范数倾向于选择更多的特征，但这些特征的系数都会接近于零，而不是完全为零。

四、对异常值的敏感度

• L1范数：相对于L2范数，L1范数对异常值更具有鲁棒性。因为L1范数是通过绝对值求和来计算的，所以它对大数值的敏感度较低。
• L2范数：对异常值更敏感。由于L2范数计算了每个元素的平方，因此大数值的元素会对其产生更大的影响。

五、求解难度

• L1范数：在某些情况下，L1范数的优化问题可能更难求解，尤其是在高维空间中。然而，L1范数的稀疏性特点使得它在某些特定问题（如特征选择）中具有优势。
• L2范数：通常更容易求解，尤其是当使用像梯度下降这样的优化算法时。L2范数的平滑性使得其优化问题更加稳定。

六、在正则化中的应用

• L1正则化：常用于Lasso回归中，可以导致特征选择，即让某些特征的系数变为零。这有助于降低模型的复杂度并提高模型的解释性。
• L2正则化：常用于Ridge回归中，可以防止过拟合，提升模型的泛化能力。L2正则化通过约束模型参数的平方和来限制模型的复杂度，使得模型的参数不会过大。

2、正则化是一种防止机器学习模型过拟合的技术，常见的正则化方法包括L1正则化、L2正则化和dropout。

以下是它们的详细介绍：

L1 正则化（Lasso Regularization）

L1 正则化通过在损失函数中加入权重绝对值的和来约束模型的复杂度，其公式为：

其中，λ 是正则化强度的超参数，wi​ 是模型的权重。

特点：

• 能够产生稀疏权重矩阵，适合特征选择。
• 某些权重可能会变成零，从而将不重要的特征移除。

L2 正则化（Ridge Regularization）

L2 正则化通过在损失函数中加入权重平方和来约束模型的复杂度，其公式为：

特点：

• 更倾向于使权重变小，但不会将权重变成零。
• 保持所有特征的影响，但减少过拟合。

Dropout

Dropout 是一种在训练过程中随机忽略部分神经元的技术，以减少过拟合。训练时，每个神经元以一定的概率p被忽略（即设置为零），而在测试时，所有神经元都被使用，但其输出按比例缩放，以反映训练时的忽略。

特点：

• 强化模型的鲁棒性，因为模型不能依赖某个特定的神经元。
• 可以有效减少过拟合，尤其在深度神经网络中。

公式： 假设有一个隐藏层向量 h，dropout后的向量 h~ 可以表示为：

其中，r 是一个与 h 维度相同的向量，每个元素以概率 p 为 0，概率 1−p 为 1。

实施方法：

这种方法有效地减少了模型对某个特定神经元的依赖，从而提高了模型的泛化能力。

比较和应用场景

• L1 正则化 适用于希望得到稀疏模型（即少数重要特征，特征选择）的情况。
• L2 正则化 适用于希望保持所有特征的贡献，同时避免权重过大，适用于大多数线性模型。
• Dropout 适用于深度神经网络，特别是在大规模数据集上的应用，可以显著减少过拟合。

在实际应用中，常常会结合使用这些正则化方法，例如在神经网络中同时使用L2正则化和dropout。