清华计算几何-ConvexHull(凸包)-极点InTriangle/ToLeft Test

ConvexHull(凸包)的基本概念

给定一个点集, 求出最外围的点所形成的几何, 就是凸包。如下所示

凸包在计算几何是一个非常基础和核心的一个概念, 很多几何计算算法都围绕凸包展开。

极点和非极点

如上图所示, 蓝图圈圈住的点都是极端点, 极端点具备一个重要的特性:

极点(extremity point): 存在一条经过此点的线L, 把其他所有点列在线L的同一端。

非极点：与极点相反, 不具备这样的线L.

凸组合(Convex Combination)

也就是说给定一个点集合S，数量为N, 每个点都存在一个权重R(x)，

当保证每个R >= 0 并且 R1 + R2... Rn = 1.0

由计算公式: P = Point1 * R1 + Point2 * R2 + ... PointN * Rn

求出的点集合为S的凸组合.

凸相关

某个点加入后，S集合依然不变，则该点和S凸组合是凸相关的，也就是该点原本就在S组合里。

对于1和4构成的S集合, 2和3是凸相关。

凸无关

某个点加入后，S集合发生改变, 则该点和S凸组合是凸无关的。也就是该点原本不在S组合里。

点4的加入使用"1-2-3" S凸组合的范围变大了，因为点4和"1-2-3"凸组合是凸无关的。

ConvexHull(凸包)的求解

流程分解

总结：遍历所有三角形，判断每个点是否在任意一个三角形内。用In-Trignle|InLeft|Determinant叉积。算法复杂度：O(n4)

伪代码全流程

InTrianle测试

ToLeft测试

这里2*S的[1, 1, 1]理解为三维空间中，三个点为同一Z平面。叉积就是带正负的面积。

代码实现求凸包-极点集合(2D)

InTrianleTest + ToLeftTest

给定一个点的集合求所有极点

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;struct Point
{float x;float y;
};float Area2(const Point& inPointA, const Point& inPointB, const Point& inPointC)
{float value =inPointA.x * inPointB.y - inPointA.y * inPointB.x+ inPointB.x * inPointC.y - inPointB.y * inPointC.x+ inPointC.x * inPointA.y - inPointC.y * inPointA.x;return value;
}bool IsLeftTest(const Point& inPointA, const Point& inPointB, const Point& inPointC)
{return Area2(inPointA, inPointB, inPointC) > 0;
}bool IsInTrianle(const Point& inPoint, const Point& triangleA, const Point& triangleB, const Point& triangleC)
{bool bLeftA = IsLeftTest(triangleA, triangleB, inPoint);bool bLeftB = IsLeftTest(triangleB, triangleC, inPoint);bool bLeftC = IsLeftTest(triangleC, triangleA, inPoint);// 取决于CCW/CWreturn (bLeftA == bLeftB) && (bLeftB == bLeftC);
}void GetConvexPointSet(const vector<Point>& inPoints, vector<Point>& outPoints)
{int pointNum = inPoints.size();vector<bool> extrmeFlags;extrmeFlags.resize(pointNum);for (int index = 0; index < pointNum; index++){extrmeFlags[index] = true;}// O(n4)for (int idxA = 0; idxA < pointNum; idxA++){for (int idxB = idxA + 1; idxB < pointNum; idxB++){for (int idxC = idxB + 1; idxC < pointNum; idxC++){for (int s = 0; s < pointNum; s++){if (s == idxA || s == idxB || s == idxC || !extrmeFlags[s])continue;if (IsInTrianle(inPoints[s], inPoints[idxA], inPoints[idxB], inPoints[idxC])){extrmeFlags[s] = false;}}}}}for (int index = 0; index < pointNum; index++){if (extrmeFlags[index]){outPoints.push_back(inPoints[index]);}}}int main()
{std::cout << "Hello World!\n";// point set contructvector<Point> inPoints ={{0, 0},{-1, -1},{5, 2},{4, 5},{3, 3},{-1, 3},{2, 2},{-3, 2},};vector<Point> outPoints;GetConvexPointSet(inPoints, outPoints);for (int index = 0; index < outPoints.size(); index++){printf("(%f, %f)\n", outPoints[index].x, outPoints[index].y);}}

测试结果

很显然，求的凸包存在问题，遗漏了(-1, -1)

按照InTriangle-ToLeft测试，(-1, -1)(0,0)(2, 2)(3, 3)四个点刚好是位于一条线上，(-1, -1) In-Triangle三次ToLeft都是相同结果，(-1, -1)被认定在三角形[(0,0)(2, 2)(3, 3)]内.

所以得改进In-Triangle测试，判断四点共线的情况。

改进InTrianleTest，消除四点共线

bool IsInTrianle(const Point& inPoint, const Point& triangleA, const Point& triangleB, const Point& triangleC)
{float a_area2 = Area2(triangleA, triangleB, inPoint);float b_area2 = Area2(triangleB, triangleC, inPoint);float c_area2 = Area2(triangleC, triangleA, inPoint);if (a_area2 == 0 && b_area2 == 0 && c_area2 == 0)return false;bool bLeftA = a_area2 > 0;bool bLeftB = b_area2 > 0;bool bLeftC = c_area2 > 0;// 取决于CCW/CWreturn (bLeftA == bLeftB) && (bLeftB == bLeftC);
}