柯西施瓦茨不等式证明过程

柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz Inequality)是数学分析中的一个重要不等式,它在向量空间、内积空间等多个领域都有广泛应用。对于实数或复数域上的内积空间,柯西-施瓦茨不等式可以表述为:

对于任意向量 u \mathbf{u} u v \mathbf{v} v 在内积空间中,有:
∣ ⟨ u , v ⟩ ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| u,vu∥∥v

其中, ⟨ u , v ⟩ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle u,v 表示向量 u \mathbf{u} u v \mathbf{v} v 的内积, ∥ u ∥ \|\mathbf{u}\| u ∥ v ∥ \|\mathbf{v}\| v 分别表示向量 u \mathbf{u} u v \mathbf{v} v 的范数。

证明过程

  1. 考虑特殊情况
    v = 0 \mathbf{v} = \mathbf{0} v=0 时,显然不等式成立,因为 ⟨ u , v ⟩ = 0 \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0 u,v=0 ∥ v ∥ = 0 \|\mathbf{v}\| = 0 v=0

  2. 一般情况
    v ≠ 0 \mathbf{v} \neq \mathbf{0} v=0 时,考虑向量 u − λ v \mathbf{u} - \lambda \mathbf{v} uλv,其中 λ \lambda λ 是一个标量。我们选择 λ = ⟨ u , v ⟩ ∥ v ∥ 2 \lambda = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{v}\|^2} λ=v2u,v

  3. 构造平方和
    计算向量 u − λ v \mathbf{u} - \lambda \mathbf{v} uλv 的范数的平方:
    ∥ u − λ v ∥ 2 = ⟨ u − λ v , u − λ v ⟩ \|\mathbf{u} - \lambda \mathbf{v}\|^2 = \langle \mathbf{u} - \lambda \mathbf{v}, \mathbf{u} - \lambda \mathbf{v} \rangle uλv2=uλv,uλv
    展开内积:
    ∥ u − λ v ∥ 2 = ⟨ u , u ⟩ − 2 λ ⟨ u , v ⟩ + λ 2 ⟨ v , v ⟩ \|\mathbf{u} - \lambda \mathbf{v}\|^2 = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle - 2\lambda \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \lambda^2 \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle uλv2=u,u2λu,v+λ2v,v
    代入 λ = ⟨ u , v ⟩ ∥ v ∥ 2 \lambda = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{v}\|^2} λ=v2u,v
    ∥ u − λ v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 − 2 ⟨ u , v ⟩ 2 ∥ v ∥ 2 + ⟨ u , v ⟩ 2 ∥ v ∥ 2 \|\mathbf{u} - \lambda \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 - 2 \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2}{\|\mathbf{v}\|^2} + \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2}{\|\mathbf{v}\|^2} uλv2=u22v2u,v2+v2u,v2
    化简得到:
    ∥ u − λ v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 − ⟨ u , v ⟩ 2 ∥ v ∥ 2 \|\mathbf{u} - \lambda \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2}{\|\mathbf{v}\|^2} uλv2=u2v2u,v2

  4. 非负性
    由于范数的平方是非负的,即 ∥ u − λ v ∥ 2 ≥ 0 \|\mathbf{u} - \lambda \mathbf{v}\|^2 \geq 0 uλv20,所以:
    ∥ u ∥ 2 − ⟨ u , v ⟩ 2 ∥ v ∥ 2 ≥ 0 \|\mathbf{u}\|^2 - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2}{\|\mathbf{v}\|^2} \geq 0 u2v2u,v20
    这意味着:
    ∥ u ∥ 2 ≥ ⟨ u , v ⟩ 2 ∥ v ∥ 2 \|\mathbf{u}\|^2 \geq \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2}{\|\mathbf{v}\|^2} u2v2u,v2
    乘以 ∥ v ∥ 2 \|\mathbf{v}\|^2 v2 得到:
    ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 ≥ ⟨ u , v ⟩ 2 \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 \geq \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2 u2v2u,v2
    取平方根得到:
    ∥ u ∥ ∥ v ∥ ≥ ∣ ⟨ u , v ⟩ ∣ \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \geq |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| u∥∥vu,v

  5. 等号成立条件
    等号成立当且仅当 u − λ v = 0 \mathbf{u} - \lambda \mathbf{v} = \mathbf{0} uλv=0,即 u = λ v \mathbf{u} = \lambda \mathbf{v} u=λv,这意味着 u \mathbf{u} u v \mathbf{v} v 线性相关。

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