二叉树

简介

二叉树(Binary Tree) ：是一种非常重要的非线性结构。：二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构；
是n(n>=0)个结点的有限集合，它或者是空树（n=0），或者是由一个根结点及两颗互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树所组成

节点：Node, 二叉树是由N个节点组成，（每个节点有两个子节点的指针（也可以没有），分别为左子节点，右子节点）。

根节点：没有父节点的节点就是根节点（唯一），也就是第一层的哪一个节点。如图所示：4

叶子节点：没有子节点的节点就是叶子节点。如图所示：1，3，5，7

非叶子节点：有子节点的节点就是非叶子节点。如图所示：2，6，4（4 是根节点也是特殊的非叶子节点）

度：表示节点的子节点个数，因为子节点最大数量为2 (左子，右子)，所以度最大为2.

高度：也称树的深度（层高）等，表示树的层级。如图所示：树高度为3.

每层节点数量：N = 2^(h-1) . N（每层数量），h (层级)。

树总节点数量：N = (2^h) - 1. N（每层数量），h (层级)。

如图所示

分类

二叉树也有类别：

普通二叉树

平衡二叉树

除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点

• 叶子结点只能出现在最下层和次下层。
• 最下层的叶子结点集中在树的左部。
• 倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
• 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
• 同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小

满二叉树

除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树

• 叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
• 非叶子结点的度(结点拥有的子树数目称为结点的度)一定是2
• 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多

二叉搜索树（二叉排序树、二叉查找树），

二叉排序树：可以为空树，或者是具备如下性质：若它的左子树不空，则左子树上的所有结点的值均小于根节点的值；若它的右子树不空，则右子树上的所有结点的值均大于根节点的值，左右子树分别为二叉排序树。
如下图所示

平衡二叉树

平衡二叉树是一种概念，是二叉查找树的一个进化体，它有几种实现方式：红黑树、AVL树
它是一个空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是平衡二叉树，如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。

这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多

AVL实现平衡的关键在于旋转操作：

插入和删除可能破坏二叉树的平衡，此时需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。当插入数据时，最多只需要1次旋转(单旋转或双旋转)；但是当删除数据时，会导致树失衡，AVL需要维护从被删除节点到根节点这条路径上所有节点的平衡，旋转的量级为O(lgn)
由于旋转的耗时，AVL树在删除数据时效率很低；在删除操作较多时，维护平衡所需的代价可能高于其带来的好处，因此AVL实际使用并不广泛

红黑树

红黑树是一种平衡二叉查找树的变体，它的左右子树高差有可能大于1，所以红黑树不是严格意义上的平衡二叉树（AVL），但对之进行平衡的代价较低， 其平均统计性能要强于 AVL

• 每个节点或者是黑色，或者是红色
• 根节点是黑色
• 每个叶结点是黑色
• 如果一个节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的，红色节点的孩子和父亲都不能是红色。从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点，任意一结点到每个叶子结点的路径都包含数量相同的黑结点。确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍。因而，红黑树是相对接近平衡的二叉树，并不是一个完美平衡二叉查找树

红黑树和AVL树区别
RB-Tree和AVL树作为二叉搜索树(BBST)，其实现的算法时间复杂度相同，AVL作为最先提出的BBST，貌似RB-tree实现的功能都可以用AVL树是代替，那么为什么还需要引入RB-Tree呢

• 红黑树不追求完全平衡，即不像AVL那样要求节点的 高度差的绝对值 <= 1，它只要求部分达到平衡，但是提出了为节点增加颜色，红黑是用非严格的平衡来换取增删节点时候旋转次数的降低，任何不平衡都会在三次旋转之内解决，而AVL是严格平衡树，因此在增加或者删除节点的时候，根据不同情况，旋转的次数比红黑树要多
• 就插入节点导致树失衡的情况，AVL和RB-Tree都是最多两次树旋转来实现复衡rebalance，旋转的量级是O(1)
• 删除节点导致失衡，AVL需要维护从被删除节点到根节点root这条路径上所有节点的平衡，旋转的量级为O(logN)，而RB-Tree最多只需要旋转3次实现复衡，只需O(1)，所以说RB-Tree删除节点的rebalance的效率更高，开销更小
• AVL的结构相较于RB-Tree更为平衡，插入和删除引起失衡，RB-Tree复衡效率更高；当然，由于AVL高度平衡，因此AVL的Search效率更高
• 针对插入和删除节点导致失衡后的rebalance操作，红黑树能够提供一个比较便宜的解决方案，降低开销，是对search，insert ，以及delete效率的折衷，总体来说，RB-Tree的统计性能高于AVL
• 故引入RB-Tree是功能、性能、空间开销的折中结果
  AVL更平衡，结构上更加直观，时间效能针对读取而言更高；维护稍慢，空间开销较大。
  红黑树，读取略逊于AVL，维护强于AVL，空间开销与AVL类似，内容极多时略优于AVL，维护优于AVL。

缺点：对于数据在内存中的情况，红黑树的表现是非常优异的。但是对于数据在磁盘等辅助存储设备中的情况（如MySQL等数据库），红黑树并不擅长，因为红黑树长得还是太高了。当数据在磁盘中时，磁盘IO会成为最大的性能瓶颈，设计的目标应该是尽量减少IO次数；而树的高度越高，增删改查所需要的IO次数也越多，会严重影响性能

总结：实际应用中，若搜索的次数远远大于插入和删除，那么选择AVL，如果搜索，插入删除次数几乎差不多，应该选择RB-Tree

B树类型

B树（B-树、B_树）

一种平衡的多叉树，称为B树（或B-树、B_树，B：balanced说明B树和平衡树有关系）
B树是为磁盘等辅存设备设计的多路平衡查找树，与二叉树相比，B树的每个非叶节点可以有多个子树。 因此，当总节点数量相同时，B树的高度远远小于AVL树和红黑树(B树是一颗“矮胖子”)，磁盘IO次数大大减少。

一棵M阶B树(M阶数：表示此树的结点最多有多少个孩子结点(子树))是一棵平衡的m路搜索树。它或者是空树，或者是满足下列性质的树：

1. 每个节点最多包含 m 个子节点
2. 根结点至少有两个子节点，除根节点外，每个非叶节点至少包含 m/2 个子节点；
3. 拥有 k 个子节点的非叶节点将包含 k - 1 条记录
4. 每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足：┌m/2┐ - 1 <= j <= m - 1；
5. 除根结点以外的所有结点(不包括叶子结点)的度数正好是关键字总数加1，故内部子树个数 k 满足：┌m/2┐ <= k <= m ；
6. 所有的叶子结点都位于同一层。

简单理解为：平衡多叉树为B树（每一个子节点上都是有数据的），叶子节点之间无指针相邻

B树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点

如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变B树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；但B树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构

B-树的特性：

1. 关键字集合分布在整颗树中；
2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
3. 搜索有可能在非叶子结点结束；
4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；
5. 自动层次控制；

由于M阶B树每个结点最少M/2个结点的限制，是为了最大限度的减少查找路径的长度，提供查找效率
B树在数据库中有一些应用，如mongodb的索引使用了B树结构。但是在很多数据库应用中，使用了是B树的变种B+树

B+树

B+树是B树的一种变形形式，B+树上的叶子结点存储关键字以及相应记录的地址，叶子结点以上各层作为索引使用。一棵m阶的B+树定义如下

1. 每个结点至多有m个子女；
2. 除根结点外，每个结点至少有[m/2]个子女，根结点至少有两个子女；
3. 有k个子女的结点必有k个关键字

B+树的查找与B树不同，当索引部分某个结点的关键字与所查的关键字相等时，并不停止查找，应继续沿着这个关键字左边的指针向下，一直查到该关键字所在的叶子结点为止。

B+树也是多路平衡查找树，其与B树的区别主要在于：

• B树中每个节点（包括叶节点和非叶节点）都存储真实的数据，B+树中只有叶子节点存储真实的数据，非叶节点只存储键。
  在MySQL中，这里所说的真实数据，可能是行的全部数据（如Innodb的聚簇索引），也可能只是行的主键（如Innodb的辅助索引），或者是行所在的地址（如MyIsam的非聚簇索引）
  点击了解MySQL中索引数据结构分析
• B树中一条记录只会出现一次，不会重复出现，而B+树的键则可能重复重现——一定会在叶节点出现，也可能在非叶节点重复出现。
• B+树的叶节点之间通过双向链表链接
• B树中的非叶节点，记录数比子节点个数少1；而B+树中记录数与子节点个数相同。

由此，B+树与B树相比，有以下优势：

• 更少的IO次数：B+树的非叶节点只包含键，而不包含真实数据，因此每个节点存储的记录个数比B树多很多（即阶m更大），因此B+树的高度更低，访问时所需要的IO次数更少。此外，由于每个节点存储的记录数更多，所以对访问局部性原理的利用更好，缓存命中率更高。
• 更适于范围查询：在B树中进行范围查询时，首先找到要查找的下限，然后对B树进行中序遍历，直到找到查找的上限；而B+树的范围查询，只需要对链表进行遍历即可。
• 更稳定的查询效率：B树的查询时间复杂度在1到树高之间(分别对应记录在根节点和叶节点)，而B+树的查询复杂度则稳定为树高，因为所有数据都在叶节点。

B+树也存在劣势：由于键会重复出现，因此会占用更多的空间。但是与带来的性能优势相比，空间劣势往往可以接受，因此B+树的在数据库中的使用比B树更加广泛。

B*树

B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；
B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3(代替B+树的1/2)；

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高

B树类型总结：

• 二叉搜索树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；
• B树(B-树)：多路搜索树，每个结点存储M/2到M（M是指M阶B树）个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；
• B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；
• B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3