_{*本篇文章涉及较多知识点，可以在下面查看对应的教程：
递归基础 / 递归进阶 / 递归练习1 / 递归练习2 / DFS1 / DFS2 / 回溯算法 / DFS3}

一、递归

1. 变化的数

有一个数 $a$，想把这个数变成 $b$，为此可以做两种变换：

① $x$ 变为 $2x$
② $x$ 变为 $10x+1$
例如：2 -> 4 -> 8 -> 81 -> 162

你需要判断一下，把 $a$ 变成 $b$ 的是否可能，可能则输出 YES，否则输出 NO。

#include <iostream>
using namespace std;// 递归判断是否存在变换路径
bool transform(int a, int b)
{if (a == b) return 1; // 当 a 和 b 相等时，变换成功，返回 trueif (a > b) return 0; // 当 a 大于 b 时，无法变换，返回 falsereturn transform(a*2, b) || transform(a*10+1, b); // 递归进行两种变换判断
}int main()
{int a, b;cin >> a >> b;cout << (transform(a, b) ? "YES" : "NO"); // 输出是否存在变换路径return 0;
}

2. 数字分解

一个正整数，可以分解成多个大于等于 $1$ 的整数之和的形式，要求这些数字从左向右是递增的（即后一个数小于等于前一个数）。请你求出对于一个整数 $n$，一共有多少种分解方案。

#include <iostream>
using namespace std;int n;int f(int n, int maxn)
{if (n == 0) return 1;int cnt = 0;for (int i = 1; i <= maxn && i <= n; i++){cnt += f(n-i, i);}return cnt;
}int main()
{cin >> n;cout << f(n, n);
}

二、DFS

1. 八个方向的迷宫

给定一个 $n$ 行 $m$ 列的迷宫，有些格子可以走，有些有障碍物不能到达。每步可以走到周围 $8$ 个方向的格子中。请你判断，是否能从左上角走到右下角。如果能走到输出 YES，否则输出 NO。

同样地，不撞南墙不回头，记得将偏差值改一下就好了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;int n, m; // 迷宫大小
bool flag; // 是否有解 
char Map[25][25]; // 地形图
bool vis[25][25]; // 标记是否走过 
int dx[10] = {-1, -1, -1, 0, 0, 1, 1, 1}; // 八个方向的偏移量 
int dy[10] = {-1, 0, 1, -1, 1, -1, 0, 1}; // 八个方向的偏移量 void dfs(int x, int y)
{// 到终点 if (x == n && y == m){flag = true;return;}// 遍历方向，判断是否满足条件for (int i = 0; i < 8; i++){int tmpX = x + dx[i];int tmpY = y + dy[i];// 是通路if (Map[tmpX][tmpY] == '.'){// 未到边界if (tmpX >= 1 && tmpX <= n && tmpY >= 1 && tmpY <= m) {// 未访问if (vis[tmpX][tmpY] == false) {vis[tmpX][tmpY] = true;dfs(tmpX, tmpY);}}}}
}int main()
{freopen("map.in", "r", stdin);freopen("map.out", "w", stdout);// 输入cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){cin >> Map[i][j];}}// dfsvis[1][1] = 1;dfs(1, 1);// 输出	cout << (flag ? "YES" : "NO");fclose(stdin);fclose(stdout);return 0;
}

2. n 皇后

题目描述

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
$n$ 皇后问题研究的是如何将 $n$ 个皇后放置在 $n\times n$ 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 $n$，求出所有不同的 $n$ 皇后问题的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 $n$ 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

输入描述

仅一行，一个正整数 $n$。

输出描述

若干行，$n\times n$ 的棋盘所有的解，每个解用空格隔开

样例1

输入

4

输出

.Q..
...Q
Q...
..Q...Q.
Q...
...Q
.Q..

提示

$4\le n\le 18$

思路：这是根据《C++知识点总结(37)：回溯算法》中第四节的题目改编而来。我们可以知道，按照题目所描述的方法，我们应该使得：

• 每一行都只有一个皇后
• 每一列都只有一个皇后
• 每一个正对角线都只有一个皇后
• 每一个负对角线都只有一个皇后

#include <iostream>
using namespace std;int n;
bool a[20][20];
bool row[20];
bool col[20];
bool zd[40], fd[40];void dfs(int r)
{if (r > n){for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){if (a[i][j]){cout << "Q";}else{cout << ".";}}cout << endl;}cout << endl;return;}for (int j = 1; j <= n; j++) // 遍历每个列{if (!a[r][j] && !row[r] && !col[j] && !zd[r+j] && !fd[r-j+n]) // 是否没有冲突{a[r][j] = true;row[r] = true;col[j] = true;zd[r+j] = true;fd[r-j+n] = true;dfs(r+1);a[r][j] = false;row[r] = false;col[j] = false;zd[r+j] = false;fd[r-j+n] = false;}}
}int main()
{cin >> n;dfs(1);return 0;
}

3. 玩具蛇

题目描述

小蓝有一条玩具蛇，一共有 $n^2$ 节，上面标着数字1至 $n^2$，每一节都是一个正方形的形状，相邻的两节可以成直线或者成直角。
小蓝还有一个 $n\times n$ 的方格盒子，用于存放玩具蛇，盒子的方格上依次标着字母共 $n^2$ 个字母。
小蓝可以折叠自己的玩具蛇放到盒子里面。他发现，有很多种方案可以将玩具蛇放进去。
请帮小蓝计算一下，总共有多少种不同的方案。如果存在玩具蛇的某一节放在了盒子的不同格子里，则认为是不同的方案。

输入描述

一个整数 $q$，表示输入 $q$ 组方格盒子。
接下来 $q$ 行，每行代表一个 $n\times n$ 的方格盒子。

输出描述

$q$ 个整数表示每个方格盒子的方案数。

样例1

输入

2
2
4

输出

8
552

提示

$1\le n\le 5$

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;int q; // 输入的组数
int n; // 盒子的边长
bool vis[10][10]; // 盒子是否被占据
int total; // 方案数量
int dx[5] = {-1, 0, 1, 0};
int dy[5] = {0, 1, 0, -1};void dfs(int x, int y, int cnt)
{if (cnt == n*n){total++;return;}for (int i = 0; i < 4; i++){int tx = x+dx[i];int ty = y+dy[i];if (tx>=1 && tx<=n && ty>=1 && ty<=n){if (vis[tx][ty] == 0){vis[tx][ty] = 1;dfs(tx, ty, cnt+1);vis[tx][ty] = 0;}}}
}int main()
{// 输入cin >> q;for (int i = 1; i <= q; i++){cin >> n;total = 0;memset(vis, 0, sizeof(vis));// dfsfor (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){vis[i][j] = 1;dfs(i, j, 1);vis[i][j] = 0;}}// 输出cout << total << endl;}return 0;
}

4. 深度优先搜索顺序

题目描述

给定一个 $n$ 行 $m$ 列的迷宫，有些格子可以走，有些有障碍物不能到达。每步可以走到上下左右的格子中。请你输出从左上角（第一行第一列）开始深度优先搜索所有格子的顺序。其中，从一个格子出发，优先出发的顺序为：上、下、左、右，每个格子只遍历一次,即按搜索顺序输出从左上角开始能够搜索到的所有位置。

输入描述

第一行有两个正整数 $n$ 和 $m$，表示迷宫的行数和列数。
接下来 $n$ 行为输入这个迷宫，每行为一个长度为 $m$ 的字符串。第 $i$ 行第 $j$ 列的字符为 '*' 表示迷宫第 $i$ 行第 $j$ 列的格子有障碍物，为 '.' 表示没有障碍物。

输出描述

若干行，按遍历顺序在每行输出搜索到的格子。第 $x$ 行第 $y$ 列的格子以 "(x,y)" 的格式输出。

样例1

输入

3 3
.*.
...
***

输出

(1,1)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(1,3)

提示

$1\le n,m\le 100$

#include <iostream>
using namespace std;int n, m;
char a[105][105];
bool vis[105][105];
int dx[5] = {-1, 1, 0, 0};
int dy[5] = {0, 0, -1, 1};
int pos = 1;
int ansx[10005];
int ansy[10005];void dfs(int x, int y)
{cout << "(" << x << "," << y << ")\n";for (int i = 0; i <= 3; i++){int tx = x+dx[i];int ty = y+dy[i];if (a[tx][ty] == '.'){if(tx>=1 && tx<=n && ty>=1 && ty<=m){if (vis[tx][ty] == 0){vis[tx][ty] = 1;dfs(tx,ty);}}}}
}int main()
{// 输入cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){cin >> a[i][j];}}// dfsvis[1][1] = 1;dfs(1, 1);return 0;
}

5. 单词消消乐

题目描述

给定一个 $n\times n$ 的字母方阵和一个字符串单词，内可能含有多个这样的单词，单词在方阵中是沿着同一方向连续摆放的，摆放可沿着 $8$ 个方向的任一方向，同一单词摆放时不再改变单词方向，单词与单词之间可以交叉，因此可能共用字母，输出时，将不是单词的字母用 '*' 代替，以凸显单词。

输入描述

输入文件名word.in。
第一行一个数 $n$，表示字母方阵的大小（$7\le n\le 100$），第二行开始输入 $n\times n$ 的字母方阵，字母间没有空格。
最后一行输入一个字符串单词，单词长度在 $1$ 到 $15$ 之间。

输出描述

输出文件名word.out。
突出显示单词的 $n\times n$ 字母方阵。

样例1

输入

4
abcd
fesh
eawj
qbso
ab

输出

ab**
****
*a**
*b**

提示

题中所有字母均为小写

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
using namespace std;int n;
int pos;
char a[120][120];
int dx[10] = {-1, -1, -1, 0, 0, 1, 1, 1};
int dy[10] = {-1, 0, 1, -1, 1, -1, 0, 1};
string s;
int px[120], py[120];
bool vis[120][120];void dfs(int x, int y, int h)
{if (pos == s.length()) // 边界{for (int i = 0; i < pos; i++){vis[px[i]][py[i]] = 1;}return;}int tx = x + dx[h];int ty = y + dy[h];if (tx >= 1 && tx <= n && ty >= 1 && ty <= n && a[tx][ty] == s[pos]){px[pos] = tx;py[pos] = ty;pos++;dfs(tx, ty, h);}
}int main()
{freopen("word.in", "r", stdin);freopen("word.out", "w", stdout);// 输入cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){cin >> a[i][j];}}cin >> s;// 找到开头字符for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){if (a[i][j] == s[0]){for (int h = 0; h <= 7; h++){pos = 0;// memset(px, 0, sizeof(px));// memset(py, 0, sizeof(py));px[0] = i;py[0] = j;pos++;dfs(i, j, h);}}}}// 输出for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){if (vis[i][j]){cout << a[i][j];}else{cout << "*";}}cout << endl;}fclose(stdin);fclose(stdout);return 0;
}

6. 奇怪的系统

题目描述

原本平静的生活被打破，你被卷入一场神秘的案件中，成为侦探团的一员，由于你自带解谜系统，所以解决案件对你来说小菜一碟，但系统有一个神奇的地方，只有给出满足要求的案件物品，系统才能给出线索，每个案件物品都有线索值，因此组合得到的线索也不一样。
现在你面前有 $n$ 个不同线索值的案件物品，系统需要的线索值为 $m$，每给出一组不同的物品组合使线索值总和刚好为 $m$ 则可以得到一条新的线索，并且物品不会因为给系统而消失，为了解开这个谜团，你需要选择合适数量与线索值的案件物品给系统，以此得到不同的线索，你一共能够得到多少条线索呢？

输入描述

第一行输入 $n$ 和 $m$，第二行一共 $n$ 个数字，表示每个案件物品的线索值 $a_i$。

输出描述

输出能够得到的线索条数。

样例1

输入

3 40 
20 20 20

输出

3

提示

【样例解释】
一共 $3$ 个物品，线索值分别为 $20,20,20$
系统需要的线索值为 $40$，则可以 $1,2$ 组合，$1,3$ 组合，$2,3$ 组合刚好都为 $40$，$1,2,3$ 组合超过 $40$ 不符合，所以得到 $3$ 条线索。
【数据范围】
$0<m\le 100，1\le n\le 20，a_i\le m$

#include <iostream>
using namespace std;int n, m;
int cnt;
int a[25];
bool used[25];// 判断选择的数字之和是否等于预设值
bool check()
{// 求和 int sum = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){if (used[i]){sum += a[i];}}// 判断是否等于预设值if (sum == m){return true;}return false;
}// pos: 当前位置
// cnt: 选的数字个数 
void dfs(int pos)
{if (pos > n) // 边界{if (check()) // 题目条件{cnt++;}return;}dfs(pos+1); // 不选used[pos] = 1; // 标记dfs(pos+1); // 选 used[pos] = 0; // 回溯
}int main()
{// 输入 cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];}// dfsdfs(1);// 输出cout << cnt; return 0;
}

7. [USACO23JAN] Air Cownditioning II B

参观一下某谷吧。

#include <iostream>
using namespace std;int n, m, k;
int ans = 1e9;
int cw[105], s[25], t[25], c[25], a[25], b[25], p[25], v[25];bool check() // 是否满足条件
{for(int i = 1; i <= k; i++){if (cw[i] > 0){return false;}}return true;
}void dfs(int pos, int s)
{if (pos > m){if (check()){ans = min(ans, s);//满足条件，更新答案}return;}dfs(pos+1, s); // 不选// 标记for(int i = a[pos]; i <= b[pos]; i++)cw[i] -= p[pos];dfs(pos+1, s+v[pos]); // 选// 回溯for(int i = a[pos]; i <= b[pos]; i++)cw[i] += p[pos];
}int main()
{// 输入cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> s[i] >> t[i] >> c[i];k = max(k, t[i]);for (int j = s[i]; j <= t[i]; j++){cw[j] += c[i]; //事先处理}}for (int i = 1; i <= m; i++)cin >> a[i] >> b[i] >> p[i] >> v[i];// dfsdfs(1, 0);// 输出cout << ans;return 0;
}

三、排列组合

选择同学

题目描述

今有 $n$ 位同学，可以从中选出任意名同学参加合唱。
请输出所有可能的选择方案。

输入描述

仅一行，一个正整数 $n$。

输出描述

若干行，每行表示一个选择方案。
每一种选择方案用一个字符串表示，其中第 $i$ 位为 $Y$ 则表示第 $i$ 名同学参加合唱；为 $N$ 则表示不参加。

样例1

输入

3

输出

NNN
NNY
NYN
NYY
YNN
YNY
YYN
YYY

提示

$1\le n\le 10$

思路：这是非常典型的一道回溯题，与《C++知识点总结(37)：回溯算法》中第二节的第一小节比较类似。因为这道题目只有 $Y$ 和 $N$ 两种可能，所以在深度优先搜索的时候，我们只需要用两个递归就可以，不需要 for 循环了。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;int n;
string s;void dfs(int pos, string s)
{if (pos > n){cout << s << endl;return;}dfs(pos+1, s+'N');dfs(pos+1, s+'Y');
}int main()
{cin >> n;dfs(1, s);return 0;
}

四、剪枝优化

1. 走迷宫

题目描述

在一个神秘的迷宫中，有一个勇敢的冒险家，他的目标是从起点 $(1,1)$ 走到终点 $(n,n)$。但是，这个迷宫并不是那么容易通过的，有些地方是可以走的，有些地方是恶龙所在的区域。为了成功通过迷宫，冒险家必须遵循以下规则：

1. 只能向下、右两个方向移动；
2. 在移动过程中，可以至多转向 $k$ 次。
   如果一条路线中冒险家经过了某个方格而另一条路线中没有，则认为这两条路线不同。
   现在，你需要帮助这位勇敢的冒险家，计算他从起点到终点的方案数。

输入描述

输入文件名maze.in。
第一行包含三个整数 $n,k,m$，表示矩阵的大小，转向次数和障碍物的数量。
接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $x$ 和 $y$，表示第 $x$ 行第 $y$ 列是障碍物。

输出描述

输出文件名maze.out。
输出一个整数，表示从起点到终点的方案数，方案数可能为 $0$（那就算给恶龙饱餐一顿了 ）。

样例1

输入

5 2 2
2 2
3 4

输出

4

提示

$1\le n\le 50$
$1\le k\le 5$
$1\le m\le 100$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;int n, k, m;
int cnt;
bool a[60][60];
int dx[5] = {0, 1};
int dy[5] = {1, 0};void dfs(int x, int y, int turn, int direc)
{if (x == n && y == n) // 到达终点 {if (turn <= k){cnt++;}return;}// 剪枝 if (turn > k){return;}if (turn == k){if (x != n && y != n){return;}}// 递归 for (int i = 0; i <= 1; i++){int tx = x + dx[i];int ty = y + dy[i];// 是通路if (a[tx][ty] == 1){// 未到边界if (tx >= 1 && tx <= n && ty >= 1 && ty <= n) {// 是否转弯 if (i != direc && direc != -1){dfs(tx, ty, turn+1, i);}else{dfs(tx, ty, turn, i);}}}}
}int main()
{freopen("maze.in", "r", stdin);freopen("maze.out", "w", stdout);// 初始化迷宫（默认都是通路）memset(a, 1, sizeof(a));// 输入cin >> n >> k >> m;for (int i = 1; i <= m; i++){int x, y;cin >> x >> y;a[x][y] = 0;}// dfsdfs(1, 1, 0, -1);cout << cnt;fclose(stdin);fclose(stdout);return 0;
}

2. 危险的工作

题目描述

在一个神秘的岛屿上，有 $N$ 个勇士需要分担 $N$ 个危险的工作。每个勇士都有自己的特长，可以担任其中一项工作。每个工作都有一个危险值，代表完成这项工作的风险程度。每个勇士担任工作时，会承担该工作的危险值。现在，你需要为这些勇士分配工作，使得每个勇士承担的危险值之和最小。

输入描述

第一行输入一个整数 $N$，代表勇士的数量。
接下来 $N$ 行，每行输入 $N$ 个整数，第 $i$ 行的 $N$ 个数字分别代表第 $i$ 个勇士担任 $1-N$ 项工作的危险值，用空格隔开。

输出描述

输出一个整数，代表每个勇士承担的危险值之和的最小值。

样例1

输入

3
1 2 3
4 5 6
7 8 9

输出

15

提示

$1\le N\le 11$
$1\le$ 危险值 $\le 100$

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;int n;
int d[20][20];
int mind = 1e8;
int a[20];
bool vis[20];void dfs(int pos, int total)
{if (pos > n) // 边界{mind = min(mind, total);return;}for (int i = 1; i <= n; i++){if (!vis[i]) // 检查位置是否被占用{vis[i] = true;a[pos] = i; // 标记int new_total = total + d[pos][i];if (new_total <= mind) // 剪枝dfs(pos + 1, new_total); // 递归下一个位置a[pos] = -1; // 回溯vis[i] = false;}}
}int main()
{// 初始化memset(a, -1, sizeof(a));memset(vis, false, sizeof(vis));// 输入cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)cin >> d[i][j];// dfsdfs(1, 0);// 输出cout << mind;return 0;
}

3. 规定时间走迷宫

第一行给定迷宫的大小 $n,m$ 和规定时间 $t$，表示有一个 $n\times m$ 的迷宫，起点到终点正好是规定时间（每向某个方向走一格，就算 $1s$）。
接下来 $n$ 行每行 $m$ 个空格隔开的字符，'.' 代表空地，'*' 代表障碍。
最后一行给定初始位置和终点位置 $sx,sy,ex,ey$。
求你求出符合规定时间的路径数。
数据范围：$1\le n,m\le 100$

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;int n, m, t, sx, sy, ex, ey, cnt;
char a[105][105];
bool vis[105][105];
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0};
int dy[4] = {0, 1, 0, -1};void dfs(int x, int y, int l)
{// 剪枝if (abs(ex-x)+abs(ey-y) > t-l || l>t)return;// 边界if (x==ex && y==ey && l==t){cnt++;return;}for (int i = 0; i <= 3; i++) {int nx = x+dx[i];int ny = y+dy[i];if (nx>=0 && nx<=n && ny>=0 && ny<=m) // 未到边界{if (vis[nx][ny]==0 && a[nx][ny]=='.') // 未访问、是空地{vis[nx][ny] == 1;dfs(nx, ny, l+1);vis[nx][ny] == 0;}}}
}int main()
{// 输入cin >> n >> m >> t;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {cin >> a[i][j];}}cin >> sx >> sy >> ex >> ey;// dfsdfs(sx, sy, 0);// 输出cout << cnt;return 0;
}