今天下起了暴雨，本以为下午就可以结束的答辩又因为老师开会被推迟。研三的学长走了后我们开始了0元购，收获颇丰哈哈，做个题

1、题目描述

2、算法分析

给定一个矩形，要求最大正方形。第一次见这种题目哈
2024 6/30 嘿嘿，这道题我昨天没做啦，今天来做，今天中午就待实验室啦，回去太麻烦了。那么继续开始做题
我拿到这个题大概知道跟动态规划有关，然后看了题解，题解给出两种算法：暴力与DP。那么我们先来看看暴力解法
暴力法是最简单直观的做法，具体做法如下：

1. 遍历矩阵中的每个元素，每次遇到 1，则将该元素作为正方形的左上角；
2. 确定正方形的左上角后，根据左上角所在的行和列计算可能的最大正方形的边长（正方形的范围不能超出矩阵的行数和列数），在该边长范围内寻找只包含 1 的最大正方形；
3. 每次在下方新增一行以及在右方新增一列，判断新增的行和列是否满足所有元素都是 1。

代码演示：

public int maximalSquare(char[][] matrix) {// 初始化最大正方形的边长为0 int maxSide = 0;// 如果矩阵为空，则直接返回0if(matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0){return maxSide;}// 获取矩阵的行数和列数int rows = matrix.length, columns  = matrix[0].length;// 遍历矩阵中的每个元素  for(int i = 0; i < rows; i++){for(int j = 0; j < columns ; j++){// 如果当前元素是'1'，则开始尝试以当前位置为左上角的最大正方形的边长if(matrix[i][j] == '1'){// 更新maxSide，因为至少可以形成一个边长为1的正方形maxSide = Math.max(maxSide, 1);// 计算当前位置可能形成的最大正方形的最大可能边长  // 不能超过矩阵的边界 int currentMaxSide = Math.min(rows - i, columns  - j );// 尝试从边长为1开始，逐渐扩大正方形的边长for(int k = 1; k < currentMaxSide; k++){// 假设当前边长k的正方形是可能的boolean flag = true;// 检查正方形的右下角是否为'0'，如果是，则无法形成边长为k的正方形if(matrix[i + k][j + k] == '0'){break;}// 检查正方形的右侧和下方的边界是否都为'1'  // 如果有任何一个为'0'，则无法形成边长为k的正方形for(int m = 0; m < k; m++){if(matrix[i + k][j + m] == '0' || matrix[i + m][j + k] == '0'){flag = false;break;}}// 如果能形成边长为k的正方形，则更新maxSideif(flag){maxSide = Math.max(maxSide, k + 1);// 如果不能形成边长为k的正方形，则无需继续尝试更大的边长}else{break;}}}}}// 计算最大正方形的面积并返回int maxSquare = maxSide * maxSide;return maxSquare;}

暴力解法的时间复杂度：$O(mn\min (m,n{)}^2)$，其中 m 和 n 是矩阵的行数和列数。空间复杂度：O(1)。额外使用的空间复杂度为常数。

可以看到空间复杂度很高了，那么我们来看看动态规划是怎么解决的。

可以使用动态规划降低时间复杂度。

• 我们用 dp(i,j) 表示以 (i,j) 为右下角，且只包含 1 的正方形的边长最大值。如果我们能计算出所有
  dp(i,j) 的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含 1 的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。
• 那么如何计算 dp 中的每个元素值呢？对于每个位置 (i,j)，检查在矩阵中该位置的值：
• 如果该位置的值是 0，则 dp(i,j)=0，因为当前位置不可能在由 1 组成的正方形中；
• 如果该位置的值是 1，则 dp(i,j) 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 dp值决定。具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加 1，状态转移方程如下：

dp(i,j) = min(dp(i − 1,j), dp(i − 1,j − 1), dp(i,j − 1) ) + 1

此外，还需要考虑边界条件。如果 i 和 j 中至少有一个为 0，则以位置 (i,j) 为右下角的最大正方形的边长只能是 1，因此 dp(i,j)=1。

3、代码

public int maximalSquare(char[][] matrix) {// 初始化最大正方形的边长为0int maxSide = 0;// 如果矩阵为空，或者没有行或列，则直接返回0if(matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0){return maxSide;}// 获取矩阵的行数和列数int rows = matrix.length, columns = matrix[0].length;// 创建一个与原始矩阵大小相同的二维dp数组，用于存储每个位置的最大正方形边长int[][] dp = new int[rows][columns];// 遍历矩阵的每一个位置for(int i = 0; i < rows; i++){for(int j = 0 ; j < columns; j++){// 如果当前位置是'1' if(matrix[i][j] == '1'){// 如果当前位置是第一行或第一列，则最大正方形边长只能是1 if(i == 0 || j == 0){dp[i][j] = 1;}else{// 否则，当前位置的最大正方形边长取决于其上方、左方和左上方的最小边长，并加1  // 因为我们要考虑的是由'1'组成的正方形dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;}// 更新最大正方形的边长maxSide = Math.max(maxSide, dp[i][j]);}               }}// 计算最大正方形的面积（边长的平方）int maxSquare = maxSide * maxSide;// 返回最大正方形的面积return maxSquare;}

这里的dp思想跟我之前做的一道最短路径思想是一样的。通过填充一个与原始矩阵大小相同的dp数组来记录每个位置的最大正方形边长。最终，返回的是最大正方形的面积，而不是边长。

4、复杂度分析

• 时间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 是矩阵的行数和列数。需要遍历原始矩阵中的每个元素计算 dp 的值。
• 空间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 是矩阵的行数和列数。创建了一个和原始矩阵大小相同的矩阵 dp。由于状态转移方程中的 dp(i,j) 由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 dp 值决定，因此可以使用两个一维数组进行状态转移，空间复杂度优化至 O(n)。