区间DP

定义

区间动态规划（Interval Dynamic Programming），简称区间DP，是动态规划领域的一个重要分支，专门用于解决涉及区间问题的最优化问题。这类问题通常需要在给定的一组区间上找到最优解，比如求解最长上升子序列、最优三角剖分、区间覆盖问题等。

基本概念

1. 区间定义：问题中涉及到的区间通常由两个端点（起点和终点）定义，如[i, j]表示一个闭区间。
2. 状态表示：区间DP的核心在于状态的定义，状态通常由区间长度和区间位置来描述，例如dp[i][j]可以表示区间[i, j]上的最优解。
3. 状态转移：区间DP的状态转移是从较小区间的信息推导出较大区间的信息。通常通过枚举区间长度或枚举区间断点来进行状态转移。
4. 决策过程：在区间DP中，一个状态的值可能由多个子区间状态经过某种计算（如最大值、最小值、和等）得到，这是通过决策过程来确定的。

运用情况

通常用于具有区间合并、分割等特征的问题。比如计算一段区间的最优值（如最大和、最小和等），或者判断区间内的某种状态。一些常见的应用场景包括计算字符串的编辑距离、计算区间内的最大连续子段和等。

注意事项

• 正确定义状态，清晰表示出区间的特征和所需的信息。
• 仔细考虑区间的划分和合并方式，确保覆盖所有情况且不重复计算。
• 注意边界条件的处理。

解题思路

• 确定区间的表示方式，通常用左右端点来表示一个区间。
• 设计状态表示，比如用 dp[i][j] 表示区间[i,j]的某种最优值或状态。
• 写出状态转移方程，根据问题的具体要求，确定如何从较小的区间的状态推导出较大区间的状态。
• 按照合适的顺序进行计算，通常是从小到大逐步计算出各个区间的状态。

例如，计算一个数列在某区间内的最大连续子段和问题。可以定义 dp[i][j] 为区间[i,j]内的最大连续子段和，然后通过考虑区间的分割情况来推导出状态转移方程。

解题步骤

1. 定义状态：明确dp数组的含义，比如dp[i][j]表示什么。
2. 初始化：确定dp数组的起始值，通常是当区间长度为1或2时的初始情况。
3. 状态转移方程：根据问题特性，推导出如何从较小的子区间状态计算出较大区间状态的公式。
4. 遍历顺序：通常按照区间长度从小到大，然后是区间起始点的顺序进行遍历，确保计算每个状态时，其依赖的所有子状态已经计算完毕。
5. 求解目标：根据问题的具体要求，从dp数组中提取出最终答案。

实例应用

• 最长公共子序列（LCS）问题：可以转化为区间DP问题，求解两个序列的最长公共子序列长度。
• 最优三角剖分：在平面上有n个点，每个点的坐标为(xi, yi)，找到一个三角剖分，使得所有三角形的面积之和最大。
• 区间覆盖问题：给定一系列区间，找到最少数量的区间，使得它们覆盖整个数轴。

区间DP的难点在于正确定义状态和设计高效的状态转移方程，以及理解区间如何相互作用以达到全局最优解。掌握区间DP的关键在于多练习，理解典型问题的解决方案，并能够抽象出问题的共通模式。

AcWing 320. 能量项链

题目描述

320. 能量项链 - AcWing题库

运行代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 210, INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int w[N];
int f[N][N];
int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){cin >> w[i];w[i + n] = w[i];}for (int len = 2; len <= n + 1; len ++ )for (int l = 1; l + len - 1 <= n * 2; l ++ ){int r = l + len - 1;for (int k = l + 1; k < r; k ++ )f[l][r] = max(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + w[l] * w[k] * w[r]);}int res = 0;for (int l = 1; l <= n; l ++ ) res = max(res, f[l][l + n]);cout << res << endl;return 0;
}

代码思路

• 首先定义了一些常量和数组，N 表示最大可能的珠子数量，INF 是一个很大的常数表示无穷大，w 数组用于存储珠子的标记值，f 数组用于存储不同区间聚合的最大能量。
• 输入珠子的数量 n 后，将珠子的标记值读入，并进行了一个循环处理，将原序列重复一遍，这样便于处理环形的情况。
• 然后通过三重循环来计算动态规划数组 f。最外层循环表示区间长度，从 2 开始递增到 n+1。对于每个确定长度的区间，通过内层的两个循环确定左右端点 l 和 r，再通过中间的 k 遍历所有可能的分割点，计算当前区间在不同分割情况下的最大能量，并更新 f[l][r]。
• 最后通过一个循环找到所有长度为 n 的区间（对应原环形序列的一圈）中的最大能量值并输出。

总的来说，这段代码通过动态规划的方法逐步计算出所有区间的最优聚合能量，最终得到整个序列的最大能量。

改进思路

1. 可以考虑添加一些注释提高代码的可读性。
2. 对于一些重复计算的部分，可以进一步优化计算逻辑，避免不必要的重复计算。

改进代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 210, INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int w[N];
int f[N][N];
int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){cin >> w[i];w[i + n] = w[i]; // 将序列重复，处理环形情况}for (int len = 2; len <= n + 1; len ++ )for (int l = 1; l + len - 1 <= n * 2; l ++ ){int r = l + len - 1;for (int k = l + 1; k < r; k ++ ){// 计算并更新最大能量f[l][r] = max(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + w[l] * w[k] * w[r]);}}int res = 0;for (int l = 1; l <= n; l ++ ) res = max(res, f[l][l + n]); // 找到环形一圈的最大能量cout << res << endl;return 0;
}