数据结构与算法

数据结构与算法 - 图

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图的定义和基本概念：
- 图（Graph）是一种由顶点（Vertex，也称为节点 Node）和边（Edge）组成的数据结构。
  
  顶点是图中的基本元素，表示某个对象或实体。顶点可以用一个标识符来表示，例如一个数字或一个字符串。
  
  边则用于连接图中的顶点，表示顶点之间的关系。边可以是有向的，也可以是无向的。
  
  在无向图中，边没有方向，顶点之间的连接是双向的。如果顶点 v 和顶点 w 之间有一条无向边，那么我们可以说 v 和 w 是相邻的，并且从 v 可以到达 w ，从 w 也可以到达 v 。
  
  在有向图中，边是有方向的，从一个顶点指向另一个顶点。如果有一条从顶点 u 到顶点 v 的有向边，我们表示为 (u, v) ，那么可以说 u 是 v 的前驱，v 是 u 的后继。从 u 可以沿着边到达 v ，但从 v 不一定能直接到达 u ，除非存在另一条从 v 到 u 的有向边。

有向图（Directed Graph）和无向图（Undirected Graph）是图的两种主要类型，它们的主要区别在于边的方向性：

无向图：

边的特征：在无向图中，边没有方向，顶点之间的连接是双向的。如果存在一条连接顶点 u 和顶点 v 的边，那么既可以从 u 到达 v，也可以从 v 到达 u 。
表示方法：通常用一对顶点来表示一条边，例如 (u, v) 表示顶点 u 和顶点 v 之间有一条边。由于边是无向的，所以 (u, v) 和 (v, u) 表示的是同一条边。
应用场景：适用于表示顶点之间对称的关系，比如朋友关系（如果 A 是 B 的朋友，那么 B 也是 A 的朋友）。
有向图：
边的特征：在有向图中，边是有方向的，从一个顶点指向另一个顶点。如果存在一条从顶点 u 到顶点 v 的有向边，那么只能从 u 沿着边的方向到达 v，而不能从 v 沿着这条边到达 u ，除非存在另一条从 v 到 u 的有向边。
表示方法：用一个有序对来表示一条有向边，例如 (u, v) 表示从顶点 u 到顶点 v 的有向边，与 (v, u) 是不同的边。
应用场景：常用于表示具有方向性的关系，比如网页中的链接（从一个网页指向另一个网页）、任务之间的依赖关系（一个任务必须在另一个任务完成后才能开始）等。

图的表示方法：

邻接矩阵是用一个二维矩阵来表示图的连接关系。矩阵的行和列都对应图的顶点。若顶点和顶点之间有边相连，矩阵中的值为（或边的权值），否则为。这种表示法简单直观，适用于顶点数较少的图。
邻接表是一种用于表示图的常见数据结构。对于图中的每个顶点，使用一个链表或数组来存储与其相邻的顶点。

具体来说，为图中的每个顶点创建一个链表（或动态数组）。链表（或数组）中的每个节点表示与该顶点相邻的一个顶点，并可以选择性地包含边的权值等信息。

图的遍历算法：

深度优先搜索（Depth-First Search，DFS）是一种图（或者树）的遍历算法。它从起始节点开始，沿着一条路径尽可能深地访问节点，直到无法继续或达到目标节点，然后回溯到上一个未完全探索的节点，继续探索其他路径。

DFS 的原理：

选择一个起始节点并将其标记为已访问。
对于该节点的未访问相邻节点，选择一个进行递归访问。
重复上述过程，直到没有未访问的相邻节点，然后回溯。

DFS 的实现步骤：

访问起始节点，并将其标记为已访问。
对于起始节点的每个未访问相邻节点，进行递归的 DFS 调用。
当一个节点的所有相邻节点都已被访问，回溯到上一个节点，继续探索其他未访问的相邻节点。

以下是使用 Python 实现 DFS 的代码示例：

# 定义一个图（以邻接表的形式表示）
graph = {'A': ['B', 'C'],'B': ['D', 'E'],'C': ['F'],'D': [],'E': [],'F': []
}# 用于标记已访问的节点
visited = set()def dfs(node):if node in visited:returnvisited.add(node)print(node)for neighbor in graph[node]:dfs(neighbor)# 选择一个起始节点，例如 'A'
dfs('A')