多项式回归(Linear Regression)原理详解及Python代码示例

多项式回归原理详解

        多项式回归(Polynomial Regression)是线性回归(Linear Regression)的一种扩展形式。它通过在输入变量上添加高次项来拟合非线性关系。虽然多项式回归本质上还是线性模型,但它允许模型在输入特征的多项式基础上进行线性拟合,从而捕捉复杂的非线性关系。

1. 多项式回归的数学表达式

        假设我们有一个输入特征 x 和输出变量 y,多项式回归模型可以表示为:

                        y=β0+β1x+β2x2+β3x3+⋯+βnxn+ϵ

        其中,β0,β1,β2,…,βn是模型的参数,n 是多项式的阶数,ϵ是误差项。

2. 多项式回归的步骤

  1. 选择多项式的阶数:选择合适的多项式阶数 n 是模型拟合的关键。阶数过低可能会导致欠拟合,阶数过高则可能导致过拟合。

  2. 构建多项式特征:将输入特征扩展为多项式特征。例如,对于一个一维特征 x,构建的特征矩阵为be67977ae85c4ae989d99a463c30af51.png

  3. 拟合模型:使用线性回归方法在多项式特征上进行拟合。

  4. 评估模型:通过均方误差(MSE)等指标评估模型的性能。

Python代码示例

        以下是一个完整的Python代码示例,用于实现多项式回归。我们将使用scikit-learn库来构建和评估模型。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error# 生成一些示例数据
np.random.seed(0)
x = 2 - 3 * np.random.normal(0, 1, 100)
y = x - 2 * (x ** 2) + np.random.normal(-3, 3, 100)# 将数据转化为二维数组
x = x[:, np.newaxis]
y = y[:, np.newaxis]# 可视化原始数据
plt.scatter(x, y, s=10)
plt.title("Original Data")
plt.show()# 创建多项式特征(例如,二次多项式)
poly = PolynomialFeatures(degree=2)
x_poly = poly.fit_transform(x)# 创建线性回归模型并在多项式特征上进行拟合
model = LinearRegression()
model.fit(x_poly, y)# 预测结果
y_pred = model.predict(x_poly)# 可视化拟合结果
plt.scatter(x, y, s=10, label='Original data')
plt.plot(x, y_pred, color='r', label='Fitted polynomial')
plt.title("Polynomial Regression (degree=2)")
plt.legend()
plt.show()# 打印模型参数和均方误差
print("Coefficients:", model.coef_)
print("Intercept:", model.intercept_)
print("Mean Squared Error:", mean_squared_error(y, y_pred))# 尝试不同的多项式阶数
degrees = [1, 2, 3, 4, 5]
for degree in degrees:poly = PolynomialFeatures(degree=degree)x_poly = poly.fit_transform(x)model = LinearRegression()model.fit(x_poly, y)y_pred = model.predict(x_poly)plt.scatter(x, y, s=10, label='Original data')plt.plot(x, y_pred, label=f'Degree {degree}')plt.title(f"Polynomial Regression (degree={degree})")plt.legend()plt.show()print(f"Degree {degree} - Coefficients:", model.coef_)print(f"Degree {degree} - Intercept:", model.intercept_)print(f"Degree {degree} - Mean Squared Error:", mean_squared_error(y, y_pred))

 

代码解释

  1. 数据生成:我们生成了一些具有二次关系的示例数据,其中加入了随机噪声。
  2. 数据预处理:将数据转化为二维数组,以便后续处理。
  3. 多项式特征构建:使用PolynomialFeatures类构建多项式特征,这里示例为二次多项式。
  4. 模型拟合:使用LinearRegression类在多项式特征上进行拟合。
  5. 结果预测和可视化:预测结果并绘制原始数据和拟合曲线,便于观察拟合效果。
  6. 模型评估:打印模型参数(系数和截距)和均方误差(MSE)以评估模型性能。
  7. 不同阶数的多项式回归:尝试不同的多项式阶数(1到5),并分别进行拟合和评估。

 

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