题目

$1\times 2\times 3\times \cdots \times 2007\times 2008$结果的末尾有几个连续的零?

公式推导

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如果 $K=1\times 2\times 3\times \cdots \times (N-1)\times N=M\stackrel{\text{L}}{\overbrace{\mathrm{0...0}}}$。
每凑一对 $2\times 5$ 结果的末尾就多一个零。

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$K$可以分解为 $L_2$ 个 $2$ 相乘再乘以$X$
$K=X\times 2^{L_2}$
$$\{\begin{array}{l}{L}_{2_1}=2\underset{\text{2×2}}{\underbrace{4}}\dots \underset{\text{2×2}}{\underbrace{8}}\dots \\ L_{2_2}=4\underset{\text{2×2×2}}{\underbrace{8}}\dots \underset{\text{2×2×2}}{\underbrace{16}}\dots \\ L_{2_3}=8\underset{\text{2×2×2×2}}{\underbrace{16}}\dots \underset{\text{2×2×2×2}}{\underbrace{32}}\dots \\ \dots \end{array}$$
注：
①为什么$L_{2_2}$只取一次？
因为$L_{2_1}$中已经取过一次了，所以累计取了$2$次。
②为什么$L_{2_3}$只取一次？
因为$L_{2_2}$、$L_{2_1}$中已经分别取过一次了，所以累计取了$3$次。
$\dots$

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同理，$K$也可以分解$L_5$ 个 $5$ 相乘再乘以$Y$。
$K=Y\times 5^{L_5}$
$$\{\begin{array}{l}{L}_{5_1}=5101520\underset{\text{5×5}}{\underbrace{25}}\dots \underset{\text{5×5}}{\underbrace{50}}\dots \\ L_{5_2}=255075100\underset{\text{5×5×5}}{\underbrace{125}}\dots \underset{\text{5×5×5}}{\underbrace{250}}\dots \\ L_{5_3}=125250375500\underset{\text{5×5×5×5}}{\underbrace{625}}\dots \underset{\text{5×5×5×5}}{\underbrace{1250}}\dots \\ \dots \end{array}$$
注：
①为什么$L_{5_2}$只取一次？
因为$L_{5_1}$中已经取过一次了，所以累计取了$2$次。
②为什么$L_{5_3}$只取一次？
因为$L_{5_2}$、$L_{5_1}$中已经分别取过一次了，所以累计取了$3$次。
$\dots$

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整理得到如下公式：
$$L=\{\begin{array}{ll}{L}_5=\lfloor \frac{N}{5^1}\rfloor +\lfloor \frac{N}{5^2}\rfloor +\cdots +\lfloor \frac{N}{5^n}\rfloor =\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{N}{5^n}\rfloor & N\ge 0\text{ , }{5}^n\le N\\ L_2=\lfloor \frac{N}{2^1}\rfloor +\lfloor \frac{N}{2^2}\rfloor +\cdots +\lfloor \frac{N}{2^m}\rfloor =\sum _{j=1}^m\lfloor \frac{N}{2^m}\rfloor & N\ge 0\text{ , }{2}^m\le n\end{array}$$

$\because$ 当 $N\ge 0$ 时有$m\ge n$ 且 $\lfloor \frac{N}{2^n}\rfloor \ge \lfloor \frac{N}{5^n}\rfloor$
$\therefore L_2\ge L_5$ 因此，$L=L_5$

注：$\lfloor \rfloor$为向下取证符号

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解

从 $1$ 到 $N$ 的连续正整数相乘，有如下计算公式
$$L=\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{N}{5^n}\rfloor \text{ 且}N\ge 0\text{ , }{5}^n\le N$$
其中：$L$为末尾连续零的个数

$\because N=2008$ 且 $5^n\le N$，即 $5^n\le 2008$
$$\{\begin{array}{ll}{5}^1=5& \\ 5^2=25& \\ 5^3=125& \\ 5^4=625& \\ 5^5=3125& \end{array}$$

$\therefore n=4$
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}L& =\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{N}{5^n}\rfloor \\ & =\lfloor \frac{2008}{5^1}\rfloor +\lfloor \frac{2008}{5^2}\rfloor +\lfloor \frac{2008}{5^3}\rfloor +\lfloor \frac{2008}{5^4}\rfloor \\ & =\lfloor \frac{2008}{5}\rfloor +\lfloor \frac{2008}{25}\rfloor +\lfloor \frac{2008}{125}\rfloor +\lfloor \frac{2008}{625}\rfloor \\ & =\lfloor 401.6\rfloor +\lfloor 80.32\rfloor +\lfloor 16.064\rfloor +\lfloor 3.2128\rfloor \\ & =401+80+16+3\\ & =500\end{array}\end{array}$$