【线性代数】实对称

对称矩阵是在线性代数中非常重要的一类矩阵。一个矩阵 \( A \) 被称为对称矩阵,如果它等于其转置矩阵,即 \( A = A^T \)。对称矩阵具有以下几个重要性质:

### 1. 特征值和特征向量

- **实特征值**:对称矩阵的所有特征值都是实数。
- **正交特征向量**:对于不同特征值对应的特征向量是正交的,即如果 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 是不同的特征值,对应的特征向量 \( \mathbf{v}_1 \) 和 \( \mathbf{v}_2 \) 满足 \( \mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2 = 0 \)。
- **正交对角化**:对称矩阵可以被正交对角化,即存在一个正交矩阵 \( Q \) 和一个对角矩阵 \( \Lambda \) 使得:
  \[
  A = Q \Lambda Q^T
  \]
  其中,\( \Lambda \) 的对角元素是 \( A \) 的特征值,\( Q \) 的列是 \( A \) 的正交特征向量。

### 2. 半正定性

- **正定矩阵**:如果对称矩阵 \( A \) 的所有特征值都大于零,那么 \( A \) 是正定矩阵。
- **半正定矩阵**:如果对称矩阵 \( A \) 的所有特征值都大于等于零,那么 \( A \) 是半正定矩阵。

### 3. 内积

- 对称矩阵可以定义一个新的内积。例如,如果 \( A \) 是一个对称矩阵,\( \mathbf{x} \) 和 \( \mathbf{y} \) 是向量,那么 \( \mathbf{x}^T A \mathbf{y} \) 定义了一个双线性形式。

### 4. 运算性质

- **加法和减法**:两个对称矩阵的和或差仍然是对称矩阵。
- **数乘**:对称矩阵乘以一个标量仍然是对称矩阵。
- **乘法**:两个对称矩阵的乘积一般不是对称矩阵,但是如果 \( A \) 和 \( B \) 是对称矩阵并且它们可交换(即 \( AB = BA \)),那么它们的乘积 \( AB \) 仍然是对称矩阵。

### 5. 矩阵函数

- 对称矩阵应用任何解析函数(如指数函数、对数函数等)后,得到的矩阵仍然是对称矩阵。

### 证明示例

举一个关于对称矩阵性质的简单证明:

**命题**:对称矩阵 \( A \) 的所有特征值都是实数。

**证明**:
假设 \( \mathbf{v} \) 是 \( A \) 的一个特征向量,对应的特征值为 \( \lambda \),即 \( A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \)。

考虑 \( \mathbf{v} \) 和 \( A \mathbf{v} \) 的内积:
\[
\mathbf{v}^T A \mathbf{v} = \mathbf{v}^T (\lambda \mathbf{v}) = \lambda (\mathbf{v}^T \mathbf{v})
\]

因为 \( A \) 是对称矩阵, \( \mathbf{v}^T A \mathbf{v} = (A \mathbf{v})^T \mathbf{v} = (\lambda \mathbf{v})^T \mathbf{v} = \lambda^* (\mathbf{v}^T \mathbf{v}) \),其中 \( \lambda^* \) 是 \( \lambda \) 的共轭复数。

由于 \( \mathbf{v}^T \mathbf{v} \) 是实数且不为零(因为 \( \mathbf{v} \) 是特征向量,不为零),我们有:
\[
\lambda (\mathbf{v}^T \mathbf{v}) = \lambda^* (\mathbf{v}^T \mathbf{v})
\]

所以 \( \lambda = \lambda^* \),这表明 \( \lambda \) 是实数。

这就证明了对称矩阵的所有特征值都是实数。

这些性质使对称矩阵在各种应用中非常有用,包括物理学、工程学和计算数学等领域。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/diannao/32652.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

PCDViewer-5.0.0——开启漫游的世界

在点云相关的研发和生产中,按Pose进行场景漫游是一个十分有用的功能,它可以快速地检查SLAM建图质量或点云编辑效果。用 ros rviz进行点云漫游是一项不错的选择,但它存在的一定的开发门槛,而且需要安装额外的资源。 PCDViewer-5.0.…

[Vite+Vue3+TS] Router的使用

1. 安装Vue Router npm install vue-router4 --save这会安装Vue Router的最新4.x版本,并将其添加到你的package.json依赖中。 2. 创建路由配置文件 在src目录下创建一个名为router的文件夹(如果尚未存在),并在该文件夹内创建一…

vue引入eachrts

1. 安装Echarts 使用npm npm install echarts --save 导入Echarts插件 import echarts from echarts Vue.prototype.$echarts echarts import echarts from echarts 我们来做个简单的实例首先需要一个容器装下Echarts <template><div id"list"…

物理隔离状态下,如何保障数据单向导入的安全性?

为了保护企业的核心数据&#xff0c;像一些涉密行业会通过物理隔离方式&#xff0c;将网络隔离成内网和外网&#xff0c;比如军工、党政、生物医药、金融等行业&#xff0c;网络隔离后会存在外网数据单向导入内网&#xff0c;内网数据单向导出外网等交互需求。在实施数据单向导…

Flink-03 Flink Java 3分钟上手 Stream 给 Flink-02 DataStreamSource Socket写一个测试的工具!

代码仓库 会同步代码到 GitHub https://github.com/turbo-duck/flink-demo 当前章节 继续上一节的内容&#xff1a;https://blog.csdn.net/w776341482/article/details/139875037 上一节中&#xff0c;我们需要使用 nc 或者 telnet 等工具来模拟 Socket 流。这节我们写一个 …

36.Http协议的设计与解析

Http协议比Redis协议复杂的多,如果程序员自己去实现,工作量大。 Netty已经把Http协议的编解码器实现好了,只需要简单的配置就可以使用。 做一个http的服务端需要HttpServerCodec。 看它继承的父类: 结合了两个类: HttpRequestDecoder(入站处理器extends Channelnbound…

【网络安全常用术语解读 :什么是0day、1day、nday漏洞】

脆弱性攻击的时间窗被称作脆弱性窗口。通常情况下&#xff0c;一个安全漏洞的时间越久&#xff0c;攻击者就会有更多的机会去攻击它。 2. 0day 漏洞 0天漏洞&#xff0c;也被称作"零日漏洞"&#xff0c;是指尚未由供应商公布的缺陷&#xff0c;表示攻击者已知晓该缺…

力扣练习题 (2024.6.23)

//我们定义&#xff0c;在以下情况时&#xff0c;单词的大写用法是正确的&#xff1a; //全部字母都是大写&#xff0c;比如 "USA" 。 //单词中所有字母都不是大写&#xff0c;比如 "leetcode" 。 //如果单词不只含有一个字母&#xff0c;只有首字母大写&a…

Java线程基础知识汇总

进程与线程 什么是进程&#xff1f; 进程是指在计算机中运行的程序的实例。它是操作系统进行资源分配和调度的基本单位。一个进程可以包含多个线程&#xff0c;每个线程都共享该进程的资源&#xff0c;如内存、文件和打开的网络连接等。每个进程都有自己的地址空间&#xff0…

FlowUs2024重磅革新预告:RAG技术赋能『问问AI』,笔记变现新纪元等你开启!

&#x1f389; 在FlowUs的广阔天地间&#xff0c;知识的边界被无限拓展&#xff0c;引领着一场场创新与收获的庆典&#xff01;&#x1f680; 随着一年间不断的精进与革新&#xff0c;FlowUs与众多用户并肩前行&#xff0c;在追求极致体验的道路上迈出坚实步伐。步入2024年&am…

WordPress项目教程:自动采集并发布,让你轻松实现网站内容更新

随着互联网的发展&#xff0c;越来越多的人开始关注自己的个人网站&#xff0c;通过网站展示自己的才华、分享知识、推广产品等。然而&#xff0c;个人网站的运营并非易事&#xff0c;尤其是内容更新方面。为了解决这个问题&#xff0c;今天我们将为大家推荐一款WordPress插件主…

minio直接通过地址访问无需服务器转发

背景 做网站有些图片、视频、js等资源&#xff0c;没有什么变化&#xff0c;想在网站上直接使用&#xff0c;前端拿到地址可直接访问获得&#xff0c;而不是通过后台转一道再获得&#xff0c;折腾了半天访问不到&#xff0c;从网上找资料挨个试&#xff0c;也没完全解决&#…

云计算期末综合测试题

云计算综合测试题 单选题填空题判断题简答题 单选题 这里选择题&#xff0c;直接以填空题展示&#xff0c;并给出解析 Bigtable是&#xff08;Google&#xff09;开发的分布式存储系统 解析&#xff1a;分布式结构化数据表Bigtable是Google基于GFS和Chubby开发的分布式存储系统…

君子小人的格局、境界

子曰&#xff1a;君子怀德&#xff0c;小人怀土&#xff1b;君子怀刑&#xff0c;小人怀惠。 直译&#xff1a;君子怀念道德&#xff0c;小人怀念乡土&#xff1b;君子关心法度&#xff0c;小人关心恩惠。 这里的君子与小人只是体现格局、境界的不同&#xff1b; 君子怀的是德…

DVWA 靶场 SQL Injection (Blind) 通关解析

前言 DVWA代表Damn Vulnerable Web Application&#xff0c;是一个用于学习和练习Web应用程序漏洞的开源漏洞应用程序。它被设计成一个易于安装和配置的漏洞应用程序&#xff0c;旨在帮助安全专业人员和爱好者了解和熟悉不同类型的Web应用程序漏洞。 DVWA提供了一系列的漏洞场…

sklearn之各类朴素贝叶斯原理

sklearn之贝叶斯原理 前言1 高斯朴素贝叶斯1.1 对连续变量的处理1.2 高斯朴素贝叶斯算法原理 2 多项式朴素贝叶斯2.1 二项分布和多项分布2.2 详细原理2.3 如何判断是否符合多项式贝叶斯 3 伯努利朴素贝叶斯4 类别贝叶斯4 补充朴素贝叶斯4.1 核心原理4.2 算法流程 前言 如果想看…

docker nacos2.3.2安装填坑

#nacos2.3.2安装# git clone https://github.com/nacos-group/nacos-docker.git cd nacos-docker #安装mysql8单机版 docker-compose -f example/standalone-mysql-8.yaml up #https://hub.docker.com 抽风# 因为网络原因&#xff0c;nacos/nacos-server 默认安装的最后版本…

Python封装cryptography对称加密方法

安装依赖 pip install cryptography实现方法 from cryptography.fernet import Fernetclass SymmetricEncryption(object):对称加密算法def __init__(self, secret_key=None

学习笔记——交通安全分析08

目录 前言 当天学习笔记整理 4信控交叉口交通安全分析 结束语 前言 #随着上一轮SPSS学习完成之后&#xff0c;本人又开始了新教材《交通安全分析》的学习 #整理过程不易&#xff0c;喜欢UP就点个免费的关注趴 #本期内容接上一期07笔记 当天学习笔记整理 4信控交叉口交…

天马学航——智慧教务系统(移动端)开发日志四

天马学航——智慧教务系统(移动端)开发日志四 日志摘要&#xff1a;优化了教师端界面的UI&#xff0c;更新了教师端添加课程&#xff0c;提交成绩等功能&#xff0c;修复了一些已知的BUG 1、教师添加课程设计 教师在此界面添加课程&#xff0c;并将数据提交后端进行审核 界…