前言：
在前面我们学习了平衡二叉树，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现，下面我们要学习的AVL树就是处理二叉树自身缺陷的一种方式

一、AVL树的概念

在平衡二叉树中，如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素的时间复杂度会退化成O(N)。
因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
AVL树可以是一颗空树，如果不是，则它（或者它的任何一颗子树）需要具备以下性质：

1. 它的左右孩子都是AVL树
2. 左右子树的高度之差（平衡因子）的绝对值不超过1

如果它有n个节点，它的高度可以保持在log_n，时间复杂度为O(log_n)

二、AVL树的节点

AVL树的节点定义：

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K,V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf;//平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0), _kv{}
};

三、AVL树的插入

总的来说，AVL树就是在二叉搜索树的基础上加了一个平衡因子，所以AVL树的插入分两步：

1.按二叉搜索树的方式插入节点
2.插入后调节平衡因子

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent){// 更新双亲的平衡因子if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}//没有改变高度，不继续向上更新平衡因子if (parent->_bf == 0){break;}// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者                 -1 ，说明以双亲为根的二叉树的高度增加了一层，因此需要继续向上调整else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = cur->_parent;parent = parent->_parent;}// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以Parent为根的树进行旋转处理else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 旋转处理.......break;}else{// 插入之前AVL树就有问题assert(false);}}return true;
}

四、AVL树的旋转

当插入一个新节点时，若是平衡因子到了2，则会导致树的不平衡，此时我们就要对这棵树进行旋转操作，使其重新满足AVL树的性质。
根据节点插入位置，AVL树的旋转分四种:

1.插入在较高左子树的左侧，使用右单旋

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到4的左子树(注意：此处不是左孩子)中，2左子树增加了一层，导致以1为根的二叉树不平衡，要让1平衡，只能将1左子树的高度减少一层，右子树增加一层， 即将左子树往上提，这样1节点转下来，因为1节点比2节点大，只能将其放在2的右子树，而如果2节点有右子树，右子树根的值一定大于2节点，小于1节点，只能将其放在1节点的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. **2节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2. 1节点可能是根节点，也可能是子树
   如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
   如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树**

说白了就是把5节点给1节点，再把1节点给2节点，就像是用手把1节点按下来一样（画图理解更佳）

代码：

void RotateR(Node* parent)//以1为旋转点，进行右单旋
{Node* subL = parent->_left;//2节点Node* subLR = subL->_right;//5节点，也可能没有parent->_left = subLR;//5节点给1节点if (subLR){subLR->_parent = parent;}subL->_right = parent;//1节点可能是根节点，也可能是子树// 如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点// 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}//更新平衡因子subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;
}

2.插入在较高右子树的右侧，使用左单旋

参考上面的右单旋，代码：

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;
}

3.插入较高左子树的右侧，先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，先以2节点为旋转点进行左单旋，然后再以1节点为旋转点进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新
代码：

void RorareLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整int bf = subLR->_bf;// 先对2节点进行左单旋RorateL(parent->_left);// 再对对1节点进行右单旋RotateR(parent);if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

4.插入较高右子树的左侧，先右单旋再左单旋

和上面的先左再右差不多

总结一下：假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑：

1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为subR
   当subR的平衡因子为1，左单旋
   当subR的平衡因子为-1，右左单旋

2. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为subL
   当subL的平衡因子为1，左单旋
   当subL的平衡因子为-1，左右单旋

旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新

五、AVL树的验证

如何去验证我们写出来的是AVL树呢？
我们知道，AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了控制高度平衡限制，所以对于验证AVL树，我们可以分两步：

1. 验证是否为二叉搜索树
   对其来一次中序遍历，如果得到一个有序的序列，则为二叉搜索树

2. 验证是否为平衡树
   (1) 各节点高度差的绝对值不超过1 （2）各节点的平衡因子是否正确

代码：

int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}int Height()
{return _Height(_root);
}bool _IsBalance(Node* root, int& height)
{// 空树也是AVL树if (root == nullptr){height = 0;return true;}int leftHeight = 0, rightHeight = 0;if (!_IsBalance(root->_left, leftHeight)|| !_IsBalance(root->_right, rightHeight)){return false;}if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2){cout << root->_kv.first << "不平衡" << endl;return false;}if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}height = leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;return true;
}bool IsBalance()
{int height = 0;return _IsBalance(_root, height);
}

六、AVL树的删除

AVL树也算是二叉搜索树，所以我们可以用二叉搜索树删除节点的方式进行删除（可以看看之前讲的二叉搜索树删除操作：https://blog.csdn.net/liuty0125/article/details/139508094?spm=1001.2014.3001.5501），不过有差别的是，在删除后还要更新删除后的平衡因子，最坏情况可能会更新到根节点，所以一般不会对AVL树进行删除操作

七、讲讲AVL树的性能

先说优点：AVL树是一个平衡的二叉搜索树，它的每个节点的左右子树高度差的绝对值不超过1，因此，哪怕最坏也只是查找高度次，保证了查询时高效的时间复杂度O(log_n)。

但是它的缺陷也很明显：如果我们要对AVL树做一些修改方面的操作时，它的性能就十分低了，因为在修改时我们还要维护它的绝对平衡，旋转的次数比较多，而且在删除时，最坏情况可能会更新到根节点。

所以，如果只是需要一种查询高效且有序的数据结构，且数据个数为静态（不改变），比较适合AVL树，但如果你需要经常修改的话，AVL树可能就不太适合了。