【算法】在?复习一下快速排序?

基本概念

快速排序是一种基于交换的排序算法,该算法利用了分治的思想。

整个算法分为若干轮次进行。在当前轮次中,对于选定的数组范围[left, right],首先选取一个标志元素pivot,将所有小于pivot的元素移至其左侧,大于pivot的则移动至其右侧,记录下最终pivot所处的位置pivot_pos。然后再利用递归,分别对左侧区间[left, pivot_pos - 1]和右侧区间[pivot_pos + 1, left]执行相同操作,依次类推,最终对整个数组完成排序。

请添加图片描述

以数组[16, 1, 2, 25, 9, 2, 5]为例,在递归实现中,其排序过程中交换策略如下图所示。当pivot_posi相等时,不需要交换,之所以先将pivot_pos++再交换的原因是,此时i指向的是小于pivot的元素,而pivot_pos是小于标志元素范围的右边界(如图),如果pivot_pos + 1 = i,则直接将这个右边界扩大1即可,而无需交换。如果不是,则将pivot_pos += 1以指向这个大于pivot的元素,并将其与小于pivotarray[i]进行交换,从而扩大右边界。下面给出了递归实现的示例代码。

int partition(int *array, int left, int right) {// * 默认选定首个元素为划分元素int pivot_pos = left, pivot_val = array[left];// * 遍历,将小于划分元素的值交换至其左侧for (int i = left + 1; i <= right; ++i) {if (array[i] < pivot_val) {pivot_pos += 1;if (pivot_pos != i) {swap(array[i], array[pivot_pos]);}}}array[left] = array[pivot_pos];array[pivot_pos] = pivot_val;return pivot_pos;
}// * 递归版快速排序 O(nlogn)
void quickSort(int *array, int left, int right) {if (left < right) {int pivotpos = partition(array, left, right);quickSort(array, left, pivotpos - 1);quickSort(array, pivotpos + 1, right);}
}

算法分析

时间复杂度:

  • 最好情况:每次划分均得到等长的两个子序列, O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
  • 最坏情况:每次划分得到的子序列只比上一层长度少1, O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
  • 平均情况: O ( n l o g n ) O(n log_n) O(nlogn)

此外,快速排序是一种不稳定的排序算法。

技巧应用

面试题 17.14. 最小K个数 - 力扣(LeetCode)

设计一个算法,找出数组中最小的k个数。以任意顺序返回这k个数均可。

示例:
输入: arr = [1,3,5,7,2,4,6,8], k = 4
输出: [1,2,3,4]
提示:
0 <= len(arr) <= 100000
0 <= k <= min(100000, len(arr))

请注意,上面这个题不要求返回的顺序。我们可以用快速排序对该数组进行排序操作。考虑一下快速排序的流程,是先对整体数组进行划分,然后再依次对划分元素的左侧和右侧进行划分,逐层递归。当划分元素的位置等于kk + 1时,[0, k - 1]实际上已经是数组前k小的数了,没有必要继续对数组做完全排序,因此可以将pivotpos == k || pivotpos == k + 1作为递归出口。

示例代码如下:

class Solution {
// 采用STL迭代器组合表示待排序的范围range
private:using Iter = vector<int>::iterator;Iter partition(Iter left, Iter right) {Iter pivot_pos = left;int pivot_val = *left;for (Iter i = left + 1; i < right; ++i) {if (*i < pivot_val) {pivot_pos += 1;if (pivot_pos != i) {iter_swap(pivot_pos, i);}}}iter_swap(left, pivot_pos);return pivot_pos;}void quicksort(Iter left, Iter right, Iter tar) {if (left < right) {Iter pivot_pos = partition(left, right);if (pivot_pos > tar + 1) {quicksort(left, pivot_pos, tar);}if (pivot_pos < tar) {quicksort(pivot_pos + 1, right, tar);}// 仅当等于tar或者tar+1时,// 才可判定pivot_pos的左侧范围为前k小或前k+1小}}public:vector<int> smallestK(vector<int>& arr, int k) {if (arr.empty() || k == 0) return {};quicksort(arr.begin(), arr.end(), arr.begin() + k - 1);vector<int> rtn(arr.begin(), arr.begin() + k);return rtn;}
};

拓展

在快速排序算法中,一个关键操作就是选择基准点(Pivot):元素将被此基准点分开成两部分。

最经常使用的就是选择一个区间的首元素或者尾元素,如本文所给出的示例。但是当数组部分有序时,这样做通常会使算法陷入坏情况,从 O ( n l o g n ) O(nlog_n) O(nlogn) 劣化到 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

研究人员为此设计了一个快速排序的变体,选择首、尾、中间元素之中的中位数作为基准,依次避免特殊情况下算法劣化到 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。但是即便性能有所提升,但是仍然有机会针对这种算法设计出一些特殊构造数组,以延长排序时间。这可能会造成服务器计算时间过程,进而为拒绝服务攻击提供可乘之机。

大卫·穆塞尔在1997年提出了内省排序算法introsort。旨在改善上述情况。introsort的主要步骤如下:

  1. 快速排序:最初使用快速排序对数组进行排序。
  2. 递归深度检查:在递归过程中,检查当前的递归深度。如果深度超过 2 l o g n 2 logn 2logn,则切换到堆排序。
  3. 堆排序:当递归深度过深时,使用堆排序对当前子数组进行排序。
  4. 插入排序:在数组小于一定阈值(通常是16或更小)时,使用插入排序进行排序,以提高小数组排序的效率。

使用这种组合算法,可以在正常快速排序算法的平均和最坏情况下,将时间复杂度均保持为 n l o g n nlogn nlogn

C++ STL算法库中的sort函数,在早期版本(LWG713之前)未对最坏情况的时间复杂度做要求,那个时候的标准库使用普通qsort实现就符合要求。在此之后,标准对最坏情况的时间复杂度进行了修正,后面的标准库实现版本使用的就是introsort算法。

LWG-xxx : 由 ISO C++ 标准委员会的图书馆工作组(LWG)跟踪的某个特定问题编号。

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