[Algorithm][动态规划][简单多状态DP问题][买卖股票的最佳时机 III][买卖股票的最佳时机 Ⅳ]详细讲解

目录

  • 1.买卖股票的最佳时机 III
    • 1.题目链接
    • 2.算法原理详解
    • 3.代码实现
  • 2.买卖股票的最佳时机 IV
    • 1.题目链接
    • 2.算法原理详解
    • 3.代码实现


1.买卖股票的最佳时机 III

1.题目链接

  • 买卖股票的最佳时机 III

2.算法原理详解

  • 注意:本题为了便于初始化,有较多细节服务于它
  • 思路
    • 确定状态表示 -> dp[i]的含义

      • i天结束之后,所能获得的最大利润
      • 本题,状态表示还可以继续细分:
        • f[i][j]:第i天结束之后,完成了j次交易,处于“买入”状态,此时的最大利润
        • g[i][j]:第i天结束之后,完成了j次交易,处于“卖出”状态,此时的最大利润
          请添加图片描述
    • 推导状态转移方程:本题关系复杂,可以画图辅助

      • f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - p[i])
      • g[i][j] = max(g[i - 1][j], f[i - 1][j - 1] + p[i])
        • 初始化时,只有g需要特殊处理第一列,而f并不需要
        • 为了避免这种情况,可以将这个状态方程拆成多步,分步执行
          • g[i][j] = g[i - 1][j]
          • if(j - 1 >= 0) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + p[i])
            请添加图片描述
    • 初始化:vector<vector<int>> dp[i][[j](n, vector<int>(3, -INF))

      • f[0][0] = -p[0], g[0][0] = 0
      • INF = 0x3f3f3f3f
      • 为什么这里用-INF而不是INT_MIN
        • 因为本题状态方程中,有减法,可能在最开始时,对INT_MIN减一个数,此时会溢出
        • 所以选择-INF,首先它足够小,其次没有溢出风险
          请添加图片描述
    • 确定填表顺序:从上往下,从左往右,两个表一起填

    • 确定返回值:g[n - 1]中的最大值

  • 本题可以吸收积累的知识点
    • 算法里面初始化为无穷:INT_MAX || INT_MIN时,要注意潜在的溢出风险
      • 替换为0x3f3f3f3f || -0x3f3f3f3f即可解决该问题
      • 首先它足够大,其次它没有溢出风险
    • 多个状态方程,其中只有一部分的状态方程需要特殊的初始化,那么可以想办法把这个状态方程拆成多步,分步执行,尝试避免特殊处理初始化

3.代码实现

int maxProfit(vector<int>& prices) 
{const int INF = -0x3f3f3f3f; // 充当"INT_MIN"的角色int n = prices.size();vector<vector<int>> f(n, vector<int>(3, INF));vector<vector<int>> g(n, vector<int>(3, INF));f[0][0] = -prices[0], g[0][0] = 0;for(int i = 1; i < n; i++){for(int j = 0; j < 3; j++){f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]);// 处理g[i][j]时,要防止越界g[i][j] = g[i - 1][j];if(j - 1 >= 0){g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);}}}int ret = 0;for(int j = 0; j < 3; j++){ret = max(ret, g[n - 1][j]);}return ret;
}

2.买卖股票的最佳时机 IV

1.题目链接

  • 买卖股票的最佳时机 IV

2.算法原理详解

  • 注意:本题为了便于初始化,有较多细节服务于它
  • 本题思路与买卖股票的最佳时机 III几乎一致,无非是限制次数变了
  • 细节:可能k > n / 2,此时开空间时,会多开很多无意义的空间
    • 此时k = min(k, n / 2)可以解决该问题
  • 思路
    • 确定状态表示 -> dp[i]的含义

      • i天结束之后,所能获得的最大利润
      • 本题,状态表示还可以继续细分:
        • f[i][j]:第i天结束之后,完成了j次交易,处于“买入”状态,此时的最大利润
        • g[i][j]:第i天结束之后,完成了j次交易,处于“卖出”状态,此时的最大利润
          请添加图片描述
    • 推导状态转移方程:本题关系复杂,可以画图辅助

      • f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - p[i])
      • g[i][j] = max(g[i - 1][j], f[i - 1][j - 1] + p[i])
        • 初始化时,只有g需要特殊处理第一列,而f并不需要
        • 为了避免这种情况,可以将这个状态方程拆成多步,分步执行
          • g[i][j] = g[i - 1][j]
          • if(j - 1 >= 0) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + p[i])
            请添加图片描述
    • 初始化:vector<vector<int>> dp[i][[j](n, vector<int>(3, -INF))

      • f[0][0] = -p[0], g[0][0] = 0
      • INF = 0x3f3f3f3f
      • 为什么这里用-INF而不是INT_MIN
        • 因为本题状态方程中,有减法,可能在最开始时,对INT_MIN减一个数,此时会溢出
        • 所以选择-INF,首先它足够小,其次没有溢出风险
          请添加图片描述
    • 确定填表顺序:从上往下,从左往右,两个表一起填

    • 确定返回值:g[n - 1]中的最大值

  • 本题可以吸收积累的知识点
    • 算法里面初始化为无穷:INT_MAX || INT_MIN时,要注意潜在的溢出风险
      • 替换为0x3f3f3f3f || -0x3f3f3f3f即可解决该问题
      • 首先它足够大,其次它没有溢出风险
    • 多个状态方程,其中只有一部分的状态方程需要特殊的初始化,那么可以想办法把这个状态方程拆成多步,分步执行,尝试避免特殊处理初始化

3.代码实现

int maxProfit(int k, vector<int>& prices) 
{const int INF = -0x3f3f3f3f; // 替代"INT_MIN"的功能int n = prices.size();// 优化处理细节,避免空间浪费k = min(k, n / 2);vector<vector<int>> f(n, vector<int>(k + 1, INF));vector<vector<int>> g(n, vector<int>(k + 1, INF));f[0][0] = -prices[0], g[0][0] = 0;for(int i = 1; i < n; i++){for(int j = 0; j <= k; j++){f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]);// 处理g时,要避免越界g[i][j] = g[i - 1][j];if(j - 1 >= 0){g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);}}}int ret = 0;for(int i = 0; i <= k; i++){ret = max(ret, g[n - 1][i]);}return ret;
}

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