一、意义

1. 快速幂

快速幂是一种通过快速计算一个数的幂的方法。它主要用于对大数进行幂运算，以减少计算时间。

2. 时间复杂度

将一个数的幂表示为指数表达式，例如 $a^b$，其中 $a$ 是底数，$b$ 是指数。传统的幂运算需要将底数 $a$ 乘自身 $b-1$ 次，这样的计算复杂度为 $O(b)$。快速幂的计算复杂度为 $O(\log b)$，相比传统幂运算的 $O(b)$，可以大大减少计算时间。因此，在需要进行大数的幂运算时，可以使用快速幂方法来提高效率。

二、思想

1. 模运算规则

$$(a\times b)\%p=((a\%p)\times (b\%p))\%p$$

2. 幂的意义

• $a^b$ 就是将底数 $a$ 乘自身 $b-1$ 次。例如 $3^8=3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3$

• 当 $b$ 为偶数的时候，我们可以进行转变，更加快速地运算，例如：$3^8=9^2$；当 $b$ 为奇数的时候，将多余的数字再相乘就可以了。

三、程序模板

下方展示取后三位的快速幂程序：

#include <iostream>
using namespace std;int x; // 底数 
int n; // 指数 int quickPow(int x, int n)
{int ans = 1; // 累乘器 while (n) // 还未除到0 {if (n % 2 == 1){ans = ans * x % 1000; // 将多余的数提取出来 }n /= 2; // 指数除以2 x = x * x % 1000; // 底数乘本身 }return ans;
}int main()
{int x, n;cin >> x >> n;cout << quickPow(x, n);return 0;
}