一、序偶和笛卡尔积

序偶：两个元素按照一定的次序组成的二元组，记为<x,y>，x为第一元素，y为第二元素

序偶的相等条件：<a,b>=<c,d>当且仅当a=c,b=d

n重有序组：n个元素按照一定次序组成的n元组

笛卡尔积：有两个集合A,B，集合A×B={<x,y>|(x∈A)∧(y∈B)} 为A和B的笛卡尔积

笛卡尔积的性质

• 笛卡尔积运算不满足交换律、不满足结合律
• A×B=Ø当且仅当A=Ø,B=Ø
• 若A、B为有限集合，|A×B|=|B×A|=|A|×|B|
• 笛卡尔积对并交运算满足分配律 即A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)

二、关系定义

关系：A、B两个非空集合，A×B的任意子集R为从A到B的一个二元关系，简称关系。A为R的前域，B为R的后域，如果A=B，则R为A上的一个二元关系

R=0，称R为从A到B的空关系。

当R=A×B，称R为从A到B的全关系。A上全关系记为E_A

当R={<x,x>|x∈A}时，称R为A上的恒等关系

关系的定义域和值域

前域中被关系引用到的元素构成定义域

后域中被关系引用到的元素构成值域

定义域和值域的并集合为R的域

如：A={a1,a2,a3} B={b1,b2,b3} R={<a1,b1>,<a1,b2>,<a2,b1>}

则：R的定义域为{a1,a2}值域为{b1,b2}

三、关系的表示

关系的集合表示

• 枚举法(R={<a,b>,<c,d>})
• 叙述法(R={<x,y>|(x,y∈R)∧(x=y)})

关系图表示法

关系矩阵表示

A={a1,a2……an}

B={b1,b2……bm}

MR=(mij)n×m

当<ai,bi>∈R时mij=1 反之mij=0

MR为R的邻接矩阵

布尔矩阵运算

并、交（A、B行数列数相同）：按位对应进行运算

积运算（A(m行p列)，B(p行n列)，结果C(m行n列)）：Cij的确定-A的行与B的列对应相按位与，如果结果不为0，则结果为1

四、关系的运算

关系是特殊的集合。集合的所有运算都可以运用到关系中，关系的运算也满足集合运算的定律

复合运算：R:A→B S:B→C R°S={<x,z>|(x∈A)∧(z∈C)∧(∃y)(y∈B∧xRy,ySz)}，°称为复合运算

逆运算R-1表示B到A的关系

R-1的关系矩阵是R的关系矩阵的转置

复合运算满足的性质

记R、S、T分别是A到B、B到C、C到D的二元关系

记IA、IBB为A、B上的恒等关系

R°S°T=R°(S°T)

IA°R=R°IB

R°(S1∪S2)=(R°S1)∪(R°S2)

(S1∪S2)°R=(S1°R)∪(S2°R)

R°(S1∩S2)⊆(R°S1)∩(R°S2)

(S1∩S2)°R⊆(S1°R)∩(S2°R)

逆运算满足的性质

并、交、差都满足(R∪S)-1=R-1∪S-1 (R°S)-1=R-1°S-1

R的补-1=R-1的补

(R-1)-1=R

S⊆R↔S-1⊆R-1

关系的幂运算

满足结合律就可以进行幂运算

设R为关系A上的集合

R0=IA

R1=R

Rn+1=Rn°R=R°Rn

幂运算的收敛性A为有限集合|A|=n, R1∪R2……Rn=R1∪R2……R∞

五、关系的性质

设R是集合A上的元素

自反性和反自反性

对于任意的x∈A，都有<x,x>∈R，那么称R在A上是自反的，R具有自反性

对于任意的x∈A，都有<x,x>∉R，那么称R在A上是反自反的，R具有反自反性

存在既不自反也不反自反的关系

关系图中每个节点都自环是自反的，每个节点都不自环是反自反的

关系矩阵的主对角线上全为1是自反的，全为0是反自反的

• 自反：IA⊆R
• 反自反：IA∩R=Ø

对称性和反对称性

对于任意的x,y∈A，如果<x,y>∈R，且<y,x>∈R，则称R是对称的，R具有对称性

对于任意的x,y∈A，如果<x,y>∈R，且<y,x>∈R，仅在x=y下满足，则称R是反对称的，R具有反对称性

关系图中：一对节点间要么有方向相反的两条边要么无边，是对称的；任何一对节点之间至多只有一条边是反对称的

关系矩阵中：对称矩阵对应的关系是对称的

• 对称：R=R-1
• 反对称:R∩R-1⊆IA

传递性

对于任意的x,y,z∈A，若<x,y>∈R,<y,z>∈R,<x,z>∈R,则称R是传递的，R具有传递性

传递：R°R⊆R

保守性

具有特殊性质的关系经过运算后保持原有特殊性质的

• R,S 是自反的,则 R1,R∪S,R∩S,RoS也是自反的
• R,S 是反自反的,则 R-1,R∪S, R∩S, R-S也是反自反的
• R,S是对称的,则 R-1,R∪S,R∩S,R-S 也是对称的
• R,S是反对称的,则 R-1,R∩S,R-S也是反对称的
• R,S是传递的,则 R-1,R∩S也是传递的

逆和交运算可以保持原属性

并只能保持自反、反自反、对称

复合只能保持自反

差可以保持反自反、对称、反对此

闭包

闭包：在给定关系中添加最少的元素，使其具有需要的特殊性质