1. 习题1

假设我们有三个向量$U,V,W$是$R^7$空间内的非零向量。由U,V,W三个向量生成的属于$R^7$的子空间维度多少？

• 因为U,V,W是非零向量，所以子空间最小可以生成1维子空间，因为U,V,W有三个向量，所以最多可以生成3维的子空间，所以子空间维度范围为1，2，3；

2. 习题2

2.1 小题1

假设有一个矩阵U是5行3列，并且矩阵U的秩为3，那么矩阵U的零空间的秩多少？
$$UX=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$Rank(N(U))=N-Rank(U)=3-3=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
所以可得矩阵U的解只有零向量。

2.2 小题2

假设矩阵B由两个向量,U,2U通过行累加而成，假设Rank(U)=3那矩阵B的秩为多少？,矩阵B的最简形是多少？
$$B=\left[\begin{array}{c}U\\ \\ 2U\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$

• 矩阵B的最简型C可以表示如下：可以通过行消元方法
  $$C=\left[\begin{array}{c}U\\ \\ 2U\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}U\\ \\ 0\end{array}\right],Rank(C)=Rank(U)=3\text{\hspace{1em}(4)}$$
  假设矩阵D由四个向量,U,U,U,0累加而成，假设Rank(U)=3那矩阵D的秩为多少？,矩阵D的最简形是多少？
  $$D=\left[\begin{array}{cc}U& U\\ & \\ U& 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$
• 矩阵D的最简型E可以表示如下：可以通过行消元方法,矩阵E为10行6列，m=10,n=6
  $$E=\left[\begin{array}{cc}U& U\\ & \\ U& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}U& 0\\ & \\ 0& U\end{array}\right],Rank(D)=2Rank(U)=2\ast 3=6\text{\hspace{1em}(6)}$$
• 那么$E^T$的零空间的秩为多少？
  $$Rank(N(E))=6-6=0;Rank(N(E^T))=10-6=4;$$

3. 习题3

3.1 小题

假设我们有矩阵A，已知如下信息：
$$AX=\left[\begin{array}{c}2\\ \\ 4\\ \\ 2\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}2\\ \\ 0\\ \\ 0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 1\\ \\ 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 0\\ \\ 1\end{array}\right],c\in R,d\in R\text{\hspace{1em}(7)}$$

• 矩阵A的行空间的维数多少？
  有X的通解可以看出来，因为有c,d，所以可得得到:Rank (N(A)) = 2; A 是由X组合而成，那么A为3行3列，所以矩阵A的行空间的维数为 n-2=1 ;
• 我们令 c = 0,d = 0 可得如下 $X=[2,0,0{]}^T$,那么A的第一列乘以$X=[2,0,0{]}^T$得到了$Y=[2,4,2{]}^T$那么我们可以得到A的第一列为
  $$colum1=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 2\\ \\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(8)}$$
• 我们发现一个问题，AX=0的X 解为$x_1=[0,0,1{]}^T$
  $$A\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 0\\ \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 0\\ \\ 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(9)}$$
• 那么可得到第3列结果如下：
  $$colum3=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 0\\ \\ 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(10)}$$
• 我们发现第二个问题，AX=0的X 解为$x_2=[1,1,0{]}^T$
  $$A\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 1\\ \\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 0\\ \\ 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(11)}$$
  也就是所第1列和第2列的和为0，现在我们已知第1列，那么可得第2列结果如下：
  $$colum2=\left[\begin{array}{c}-1\\ \\ -2\\ \\ -1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(12)}$$
• 综上所述，矩阵A表示如下：
  $$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ & & \\ 2& -2& 0\\ & & \\ 1& -1& 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(13)}$$

3.2 小题

当向量b为何值的时候，AX=b有解？,首先我们来看看AX的含义，对于矩阵A来说，我们右乘了一个矩阵X，根据矩阵左乘行变换，右乘列变换的法则，我们明白了，b应该是在由矩阵A的列向量进行线性组合，所以如果想要AX=b有解，就是需要b在A的列空间内。

• 我们可以看到，Colum1 和Colum2线性相关，所以b想在A的列空间中，那么必须满足如下条件：
  $$b=k_1\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 2\\ \\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(14)}$$