【数据结构】带你轻松掌握算法的复杂度

引入：

哈喽大家好，我是野生的编程萌新，首先感谢大家的观看。数据结构的学习者大多有这样的想法：数据结构很重要，一定要学好，但数据结构比较抽象，有些算法理解起来很困难，学的很累。我想让大家知道的是：数据结构非常有趣，很多算法是智慧的结晶，我希望大家在学习数据结构的过程是一种愉悦的心情感受。因此我开创了《数据结构》专栏，在这里我将把数据结构内容以有趣易懂的方式展现给大家。

1.算法

什么是算法呢？算法是描述解决问题的方法。算法一词最早出现在波斯数学家阿勒•花刺子密在公元825年（相当于我们的唐朝时代）所写的《印度数字算术》。如今普遍认可的算法的定义是：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。算法是数据结构的基础，用于操作和组织数据的各种方法和技巧。算法可以描述为一串指令，用于在有限时间内执行给定任务。在数据结构中，算法用于操作和处理不同类型的数据，例如数组、链表、树等。算法的设计和实现是数据结构的关键组成部分，可以通过选择合适的算法来提高代码的效率和性能。

2.算法的特性

算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可执行性。

2.1输入和输出

输入输出特性比较容易理解，输入是指算法的初始数据，输出是指算法运行结束后的结果。算法的输入和输出是比较重要的两个特性，算法的输入可以是各种不同类型的数据，例如数字、字符、布尔值、数组、链表等等。输入的特性决定了算法对数据的处理方式。有些算法只接受特定类型的输入，而有些算法可以处理多种不同类型的输入。算法的输出也可以是各种不同类型的数据，取决于算法的具体目标。输出可以是单个值，也可以是一组值，甚至是一个数据结构。输出的特性通常与输入和算法的目标密切相关。

2.2有穷性

有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。现实中经常会写出死循环的代码，这就是不满足有穷性。当然啦，在这里的有穷的概念并不是纯数学意义的，而是在实际应用中合理的、可以接受的“边界”。算法的有穷性是算法设计时必须考虑的重要因素之一。如果一个算法没有有穷性，即无法在有限的时间内停止执行，那么它就无法被应用于实际问题中。你说你写一个算法，计算机需要计算几十年，它也一定会结束，他就在数学的意义上是有穷了，那这样算法的意义也就不大了。

2.3确定性

确定性：算法的每一步骤都具有确定的意义，不会出现其他意义。算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯一的输出结果。算法的每个步骤被精确定义而无歧义。在确定性算法中，每一步操作都是事先确定好的，不受随机因素的影响。这意味着，无论何时何地运行该算法，只要输入相同，输出结果也将是相同的。确定性算法的执行结果可以通过数学推导和逻辑推理来验证和预测，这使得算法的可靠性和正确性能得到保证。

2.4可行性

可行性：算法的每一步必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数结束。可行性意味着算法可以转换为程序上机运行，并得到正确的结果。一个可行的算法应该具有较低的时间和空间复杂度，同时能够正确处理各种输入情况，并具备良好的可扩展性。

3.算法的效率

如何衡量一个算法的好坏呢？就比如计算斐波那契数列的代码：

long long Fib(int n)
{if(n<=2)return 1;return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？我们设计算法肯定是为了提高效率，这里的效率大都指算法在解决问题时所需的时间和空间资源的消耗。算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

我们在刷题时也常会看到时间复杂度和空间复杂度的限制，那么什么是时间复杂度和空间复杂度呢？

4.时间复杂度

4.1算法时间复杂度的定义

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。请计算一下下面代码中的++count运行了多少次：

void Func(int n)
{int count=0;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;i<n;j++){++count;}}for(int k=0;k<2*n;k++){++count;}int a=10;while(a--){++count;}
}

函数Func的执行次数和传入的参数n形成一个函数关系：

$f(n)=n^{2}+2*n+10$

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

4.2大O渐进表示法

大O符号是用于描述函数渐进行为的数学符号。推导大O阶的方法：

用常数1取代运行时间中所有加法常数。
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
如果最高阶项存在且系数不是1，则去除与这个阶项相乘的系数，得到的结果就是大O阶。

上面的代码使用了大O的渐进表示法后，函数Func的时间复杂度为O（ $n^{2}$ ）。通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最好情况：任意输入规模的最小运行次数
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以我们在一个数组中搜索一个数据时的时间复杂度为O(n)。

4.3常见的时间复杂度举例

4.3.1常数阶

首先算一下下面代码的时间复杂度：

void Func(int n)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}

这个算法的运行次数函数f(n)=100。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项100改为1。在保留最高阶项时发现，他根本就没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度是O(1)。这种与问题的大小（n的大小）无关，执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。不管这个常数是多少，我们都记作O(1)。对于分支结构而言，无论真假，执行次数都是恒定的，不会随着传入的参数的值变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。常数阶时间复杂度的特点是算法中只包含固定数量的操作，无论数据的规模如何变化，都不会对算法的执行时间造成影响。

4.3.2线性阶

先来算一下下面函数的时间复杂度：

void Func(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

这个算法的运行次数函数f(n)=2*n。根据我们推导的大O阶的方法，保留最高项的时候，我们发现它的最高项是n，这时候我们要去除这个最高项之前的系数，所以这个函数的时间复杂度是O(n)。线性阶时间复杂度（O(n)）是指算法的执行时间随着输入规模的增加而线性增加的情况。也就是说，算法的执行时间与问题规模n成正比。当算法的时间复杂度为线性阶时，随着输入规模n的增加，算法的执行时间将按照一个固定的速度增长。我们再来算一下下面这段代码的时间复杂度：

void Func(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++ k){++count;}for (int k = 0; k < N ; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}

执行了M+N次，又因为有两个未知数，所以函数Func的时间复杂度是O(M+N)。

4.3.3对数阶

老样子，先算一下下面这段代码的时间复杂度：

void Func(int n)
{int count=1;while(count<n){count=count*2;}
}

由于每次count扩大2倍之后，就距离n更近了一步，也就是说，有多少个2相乘之后大于n，就会退出循环。由 $2^{x}=n$ 求解之后得到 $x=\log n$ ，所以这个函数的时间复杂度是O( $\log n$ )。对数阶时间复杂度（O(log n)）是表示算法的时间复杂度随输入规模n的增长而以对数的速度增加。这里大家是不是好奇我为什么要写 $\log n$ 而不是 $\log_{2}n$ 呢？在对数阶时间复杂度中，通常使用logn来表示，其中log表示以2为底的对数。这是因为在计算机科学中，对数底数通常是2，因为计算机内部的数据是以二进制表示的。因此，当我们分析算法的时间复杂度时，以2为底的对数更为常见和方便。另外，对数底数的选择并不会改变时间复杂度的增长趋势，因此我们可以忽略底数，直接用logn来表示对数阶时间复杂度。二分查找是常见的对数阶时间复杂度的算法。

4.3.4平方阶

算一下下面这段代码的时间复杂度：

void Func(int n)
{int i,j;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)++count;}
}

这是一个循环嵌套，它的内循环我们可以轻松算出它的时间复杂度为O(n)。而对于外层的循环，不过是内部的循环语句再循环n次，所以这段代码的时间复杂度为O( $n^{_{2}}$ )。如果外循环的次数变成了m，时间复杂度就是O(m*n)。所以我们可以得出结论：循环的时间复杂度等于循环体的时间复杂度乘以该循环运行的次数。那么下面这个嵌套循环的时间复杂度是多少呢？

void Func(int n)
{int i,j;for(i=0;i<n;i++){for(j=i;j<n;j++)++count;}
}

当i=0时，内循环执行了n次，当i=1时，内循环执行了n-1次....当i=n-1时，内循环执行了1次。所以总的执行次数为：

$n+(n-1)+(n-2)+.....+1=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}$

用我们推导大O阶的方法，没有常数项不考虑，接着只保留最高阶项 $\frac{n^{2}}{2}$ ，然后去除与这个项相乘的常数，最终这段代码的时间复杂度是O( $n^{2}$ ) 。在平方阶时间复杂度的算法中，通常会存在两重嵌套的循环。每当遍历一次外层循环，内层循环都要遍历一次。由于平方阶的时间复杂度增长非常快，当输入规模较大时，会导致算法的执行时间非常长。因此，尽量避免使用平方阶的算法，或者在实际使用时进行优化。

4.3.4常见的时间复杂度

函数执行次数	阶	非正式术语
520	O(1)	常数阶
3n+4	O(n)	线性阶
3n^2+5n+9	O(n^2)	平方阶
3logn+2	O(logn)	对数阶
n+4n*longn+5	O(n*logn)	n*logn阶
n^3+3n+4	O(n^3)	立方阶
2^n	O(2^n)	指数阶

5.空间复杂度

空间的复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度不是程序占用了多少空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。通常我们都使用“时间复杂度”来指运行时间的需求，使用“空间复杂度”指空间需求。当不用限定词地使用“复杂度”时，通常指的都是时间复杂度。在算法中，有时可以通过使用更多的空间来换取更高效的时间复杂度。这种做法被称为空间换时间。一种常见的应用是使用额外的数据结构来存储一些中间结果，以便在后续的计算中可以更快地访问。空间换时间的做法可以在某些情况下显著提高算法的性能，但也会增加内存消耗。因此，在应用空间换时间时需要权衡时间和空间的需求，并选择合适的策略。