微分方程

1.一阶微分方程

一阶微分方程，就是指微分方程中，最高次项是一阶导数的，我们要把他整理积分求出y。

1.1 可分离变量型微分方程

$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\stackrel{\text{移项整理}}{\Rightarrow }\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$

1.2 一阶齐次微分方程

如何判断齐次？
我们把y’看成0次，x，y分别看成1次，xy看成（1+1）=2次，y/x看成（1-1=0）次。x+y,x-y,都是1次。

一般的情况是，形如y/x的形式，也就是都是0次，当然了，一阶方程也只能是形如y/x的形式。
$$\frac{dy}{dx}=\phi \left\{\frac{y}{x}\right\}$$

解法就是：把y/x换元=u，变成可分离变量的那种形式再回带。

1.3 一阶线性微分方程

如何判断线性？
谨记是否线性和x无关，只看y，如果y与y之间不是独立存在的，即有yy′，或者y′✖️y"，或者yy这种情况的，他是非线性的。
如果有y的复合函数出现的，他是非线性的。
如果以上情况都没出现，那么他是线性的。

$$y^{\prime }+p\left(x\right)y=q\left(x\right)$$

解法很简单，直接套公式

$$y=e^{\int -p\left(x\right)dx}\left[{\int }_{}^{}{e}^{\int p\left(x\right)dx}q\left(x\right)dx+C\right]$$

公式使用要注意：
p(x)不用+c，实际这里指的是某一个原函数，这里只是约定俗称的写法。

2. 高阶微分方程

2.1 可降阶的高阶微分方程求解（以二阶为例）

关键字：可降阶（降阶法）

在求解之前的讨论：
二阶微分方程的一般形式：y"=f(x,y,y′),这种形式降阶法是无法求解的，所以降阶法只适用于部分情况。

• y"=f(x) 【这种形式没什么好说的，两次积分】
• y"=f(x，y) 【和最一般的形式一样，降阶法没法计算，通过求解方法，就能理解，为什么降阶法没法计算这种形式】
• y"=f(y) 【没法用降阶法】
• y"=f(y′) 【降阶法】
• y"=f(y，y′) 【降阶法】
• y"=f(x，y′) 【降阶法】

总结：
什么情况下可以使用降阶法？
右边是y′，可以加上x或y

降阶法的使用，本质就是设一阶导为p，二阶导就变成了dp/dx，然后我们通过一些代换，只留下两种未知数（如p和y或者p和x），然后可分离变量求积分。

• 1️⃣y"=f(y′)

  • 很明显y‘变成p，也就是直接设一阶导为p，二阶导为dp/dx即可，整个方程只有p和x。

• 2️⃣y"=f(y，y′)

  • 设完y’，但是多了y，我们考虑让消除掉x，让方程只剩p和y

  $$p=\frac{dy}{dx}{p}^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\times \frac{dy}{dx}因为\frac{dy}{dx}=p，代换成p，此时方程中就只有y和p了$$

• 3️⃣y"=f(x，y′)

  • 同第一种情况

2.2 二阶常系数线性微分方程

引子：二阶常系数线性微分方程我们是可以求解的，如果不是常系数，我们只停留在理论上可以求解。
$$齐次方程y^{″}=p\left(x\right)y^{\prime }+q\left(x\right)y=0$$
$$非齐次方程y^{″}=p\left(x\right)y^{\prime }+q\left(x\right)y=f\left(x\right)$$

解的结构：
齐次方程的通解的结构是，两个线性无关的特解之和。
非齐次方程的通解的结构是，它所对应的齐次方程的通解+一个非齐次方程的特解

两个定理：
1️⃣非齐次方程的两个特解之差是齐次方程的解
2️⃣非齐次方程的特解有累加性。

2.2.1 二阶常系数齐次微分方程

如果是常系数的齐次微分方程，解的结构就可以确定

⭐️求解过程：
确定特征方程 r²+pr+q=0
求通解
1️⃣p²-4q>0,r₁,r₂是两个不等实根，y=C₁e^r1x+C₂e^r2x
2️⃣p²-4q=0,r₁=r₂,即两个相等的实根(二重根), y=(C₁+C₂x)e^x
3️⃣p²-4q<0，共轭复根 a±bi，y=e^ax(C₁cosβx+C₂βx)

2.2.2 二阶常系数非齐次微分方程

第一步，是求它所对应齐次方程的通解
第二步，用待定系数法求非齐次方程的特解

求特解的两大类型，要不同的设法
第一类，下面这种形式的
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=p_n\left(x\right)e^{ax}$$

设y‘’=Q_n(x)e^axx^k,
Q_n(x)由p_n(x)确定，写成p_n(x)的一般形式，如p_n(x)=2x，Q_n(x)设成ax+b
k由a和第一步求通解的根一起确定，

• a≠r_1,2,k=0
• a=r₁或r=r₂(r₁≠r₂),k=1
• a=r₁=r₂,k=2

第二类，下面这种形式
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=e^{ax}\left[p_m\cos \beta x+p_n\sin \beta x\right]$$
设
$$y=e^{ax}\left[Q_l\cos \beta x+Q_l\sin \beta x\right]$$
e^ax照抄
l=max{m,n],Q₁,Q₂,就设l次多项式，l=0，就设a,l=1,就设ax+b
k由a和第一步求通解的共轭实根a±bi一起确定，

• a±bi≠r_1,2,k=0
• a±bi=r₁=r₂,k=1