C++进阶：AVL树

AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但 如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查

找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下 。因此，两位俄罗斯的数学家 G.M. A delson- V elskii

和 E.M. L andis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调整 ) ，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵 AVL 树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是 AVL 树

左右子树高度之差 ( 简称平衡因子 ) 的绝对值不超过 1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在

O(log2 n) ，搜索时间复杂度 O(log2 n) 。

AVL树节点的定义

AVL 树节点的定义：（三叉链）

template < class T >

struct AVLTreeNode

{

AVLTreeNode ( const T & data )

: _left ( nullptr ), _right ( nullptr ), _parent ( nullptr )

, _data ( data ), _bf ( 0 )

{}

AVLTreeNode < T >* _left ; // 该节点的左孩子

AVLTreeNode < T >* _right ; // 该节点的右孩子

AVLTreeNode < T >* _parent ; // 该节点的双亲

T _data ;

int _bf ; // 该节点的平衡因子

};

AVL树的插入

AVL 树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此 AVL 树也可以看成是二叉搜索树。那么

AVL 树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 调整节点的平衡因子（这里默认平衡因子=右子树高度-左子树高度）

举例：采用KV模型（K模型也可以）

#pragma once
#include<assert.h>
#include<iostream>
using namespace std;template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf;// balance factorAVLTreeNode(const pair<K,V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}
};template<class K,class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:// logNbool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// 更新平衡因子while (parent)//parent为空时更新结束，此时已经更新到根节点{if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){//更新结束break;}else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1){// 继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2){// 当前子树出问题了，需要旋转平衡一下//...break;}else{// 理论而言不可能出现这个情况assert(false);}}return true;}
private:Node* _root = nullptr;
};

AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的 AVL 树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，

使之平衡化。根据节点插入位置的不同， AVL 树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

/*上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子
树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点
的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解
*/void RotateR(Node* parent){// subL: parent的左孩子// subLR: parent左孩子的右孩子Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子parent->_left = subLR;// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲if (subLR)subLR->_parent = parent;// 60 作为 30的右孩子subL->_right = parent;// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲Node* ppNode = parent->_parent;// 更新60的双亲parent->_parent = subL;// 如果60是根节点，更新指向根节点的指针if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}// 更新30的双亲subL->_parent = ppNode;}// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;}

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

实现及情况考虑可参考右单旋。

	void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subR;}else{ppNode->_right = subR;}subR->_parent = ppNode;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}