2023年华数杯全国大学生数学建模
B题 不透明制品最优配色方案设计
原题再现：
日常生活中五彩缤纷的不透明有色制品是由着色剂染色而成。因此，不透明制品的配色对其外观美观度和市场竞争力起着重要作用。然而，传统的人工配色存在一定的局限性，如主观性强、效率低下等。因此，研究如何通过计算机方法来实现不透明制品的配色具有重要意义。
光通过物体传播有吸收、反射和透射三种方式。对于不透明制品来说，大部分光线会被其表面吸收或反射。吸收和反射的光线在经过透明度等校正后按波长分解成不同的颜色成分，形成光谱图。该光谱图通常由400–700nm波段的各色光组成。为简化计算，最终配色后的颜色的反射率以20nm为间隔的光谱数据来表示。对于不透明材料而言，吸收系数K/散射系数S的比值与反射率R之间存在一定关系，具体请参考文献【1】《计算机配色理论及算法的研究》中的K-M光学模型。
基于光学模型得到的颜色参数，可应用于色差的计算。通常，使用色差（不超过1）来作为配色效果好坏的标准。色差计算方法参考文献【2】《基于CIELAB均匀颜色空间和聚类算法的混纺测色研究》中的CIELAB色彩空间的总色差计算方法。其中颜色参数L*(明度)、a*(红绿色度)和b*（黄蓝色度）计算中出现的三刺激值XYZ的计算方法如下：
不透明制品配色问题，就是基于光学模型，设计不透明制品的配色模型。相较于人工配色，节省大量人力、物力和财力，对减少能耗具有重要意义。针对某一不透明制品，已知红、黄、蓝3种着色剂在不同浓度不同波长的K/S值以及基底材料在不同波长下的K/S值，见附件2。其中，浓度=着色剂克重/基材重量。每个着色剂的吸收系数K/散射系数S的比值具有加和性，详见文献【1】《计算机配色理论及算法的研究》中的K-M单常数理论。现有10个目标样(二到三种着色剂混合制成)的R值，见附件3。结果展示请保留4位小数。请建立数学模型解决如下几个问题：
问题1：请分别计算附件2中三种着色剂在不同波长下K/S与浓度的关系，并将关系式与拟合系数填写在表格中。
问题2：请建立不透明制品配色的优化模型。在已知目标样的R值（附件3）的前提下，基于光谱三刺激值加权表（附件1）与着色剂K/S基础数据库（附件2），运用优化模型配出与目标样的色差最为接近的10个不同配方，要求色差小于1。
问题3：在问题2的基础上，考虑成本控制和批量配色，改进配色模型。对2kg 的基底材料进行配色，求出与目标样（附件3）之间色差最为接近的10个不同配方，要求色差小于1。色母粒单位克重价格见附件4。
问题4：在实际生产中，配色所需要的着色剂越少越好，基于此，在问题3的基础上，寻找附件3中前5个样本的最优的配色方案，要求每个样本配出5个不同的配方且色差小于1。提供的数据和资料：
1.附件1（光谱三刺激值加权表）
2.附件2（不同浓度不同波长的K/S值）
3.附件3（10个样品的R值）
4.附件4（染料价格）
整体求解过程概述(摘要)
日常生活中五彩缤纷的不透明有色制品是由着色剂染色而成。因此，不透明制品的配色对其外观美观度和市场竞争力起着重要作用。由于传统的人工配色存在主观性强、效率低下等局限性。因此，研究如何通过计算机方法来实现不透明制品的配色具有实际意义。
针对问题一，本文建立了一元线性回归模型。为解决该数据拟合问题，初步对红、黄、蓝三种着色剂在不同波长下K/S值与浓度的相关数据进行曲线拟合，发现近似满足一元线性关系。通过建立K/S值与浓度的一元线性回归模型，采用最小二乘法对该模型的参数进行求解，得出三种着色剂在不同波长下K/S值与浓度的关系式均为一元 一次方程，并且由相关的公式对拟合系数进行求解，得出拟合系数均>0.9，说明采用一元线性回归模型对三种着色剂在不同波长下K/S值与浓度的关系拟合效果良好。
针对问题二，本文建立了不透明制品配色的单目标优化模型。为了寻找与10种目标样本的色差最为接近的 10 个不同配方，首先通过蒙特卡洛算法随机生成各种着色剂浓度，其次确定色差小于1的配色方案，最后运用不透明制品配色的优化模型筛选出与目标样的色差最为接近的10个不同配方。通过分析结果的得出色差均在0.2左右，大部分配色方案的色差在 0.1 左右，并且在筛选过程中发现只添加红色着色剂4.6486%，即可达到色差为0.8389的效果，说明采用该优化模型选择的配色方案配色效果良好，则该不透明制品配色的单目标优化模型的可行性较强。
针对问题三，本文建立了考虑成本控制和批量配色的双目标优化模型。本题要求我们对2kg的基底材料制定合适的配色方案。我们基于问题二的单目标配色模型，通过考虑配方着色成本最小，以配方与现有样本的色差小于1以及生产制造过程中批量配色为约束条件，建立多目标优化模型，寻找最优配色方案。分析结果得出 10 个样本的不同配色方案的色差均在0.7以下，且成本均在11.5以下，则该模型满足着色最小的优化目标。最后经过灵敏度分析和稳定性分析，发现着色剂浓度对模型敏感，并且由于样本一的最佳浓度比为9:2:1，在最优解附近对三种着色剂浓度进行扰动，色差值波动较小，证明最优解的稳定性较好，反映了双目标优化模型的稳定性。
针对问题四，本文建立了考虑着色剂用量的多目标优化模型。本题要求基于问题三，考虑着色剂最少的条件下能够满足配色要求的最优配色方案。根据问题三的考虑成本控制和批量配色的多目标优化模型，增加着色剂最少为目标，建立了考虑着色剂的多目标优化模型，找到l满足着色剂最少的最优配色方案，其中前5个样本的配色方案中着色剂的种类最小值为2，样本1的最优配色方案选用红、黄两种着色剂；样本2、3 的最优配色方案选用红、蓝两种着色剂；样本4、5的最优配色方案选用黄、蓝两种着色剂。对问题三中的模型进行改进后，各样本5个不同的配方与样本的色差均小于1，成本值均小于7。
模型假设：
假设一：对各个样本进行配色时，基材的厚度满足d—>d+
假设二：三种着色剂的浓度范围为[0,5%]。
假设三：问题一中的拟合值与真实值契合。
假设四：本文所用数据来源真实可靠。
问题分析：
问题一的分析
问题一要求找出三种着色剂在不同波长下K/S值与浓度之间的关系。为解决此数据拟合类问题，我们通过对附件2中的数据进行整理，采用曲线拟合的统计方法来分析K/S 值与浓度之间的关系。根据不同着色剂的数据分布情况，建立线性回归模型，采用最小二乘法对模型的参数进行求解，并且通过相关公式求解拟合系数。
问题二的分析
问题二要求建立不透明制品配色的优化模型。根据附件所给数据，在已知目标样的 R 值的前提下，基于光谱三刺激值加权表与着色剂 K/S 基础数据库，运用优化模型配出与目标样的色差最为接近的 10 个不同配方，且色差小于 1。结合题目已给色差的计算方法，通过蒙特卡洛算法随机生成各种着色剂浓度，进而确定色差小于1的配色方案，运用不透明制品配色的优化模型选出与目标样的色差最为接近的 10 个不同配方。
问题三的分析
问题三要求通过考虑成本控制和批量配色，从而对2kg的基底材料制定合适的配色方案。基于问题二的不透明制品配色的优化模型，以配色方案与目标样的色差最为接近和着色成本最小为目标，配色方案与现有样本的色差小于1以及生产制造过程中批量配色为约束条件，建立考虑成本控制和批量配色的多目标优化模型，找到满足着色成本最小的最优配色方案。
问题四的分析
问题四要求我们基于问题三，考虑着色剂最少的条件下能够满足配色要求的最优配色方案。基于问题三的考虑成本控制和批量配色的多目标优化模型，增加着色剂最少为目标，着色剂最少可分为两种情况，即着色剂的种类使用最少和各种着色剂的用量最少，建立考虑着色剂的多目标优化模型，找到满足着色剂最少的最优配色方案。
模型的建立与求解整体论文缩略图
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部分程序代码：
clc;clear;
%% 数据导入以及矩阵初始化
R0 = importdata('YangBen.txt');
S = importdata('JiaQuan.txt');
O = importdata('K.txt');
P = importdata('b.txt');
JiC = importdata('JiCai.txt')；
Esave = zeros(10,1);
Resave = zeros(10,1);
Yesave = zeros(10,1);
Busave = zeros(10,1);
%% 计算各个样本的L,a,b值
Xyz0 = 0.1 * (R0 * S) * 20; %离散积分计算
[n,m] = size(Xyz0);
for i = 1:n if(((Xyz0(i,1)/94.83) > 0.008856)&&((Xyz0(i,2)/100) > 0.008856)&&((Xyz0(i,3)/107.38) >
0.008856)) L0(i) = 116*((Xyz0(i,2)/100)^(1/3))-16; a0(i) = 500*(((Xyz0(i,1)/94.83)^(1/3))-((Xyz0(i,2)/100)^(1/3))); b0(i) = 200*(((Xyz0(i,2)/100)^(1/3))-((Xyz0(i,3)/107.38)^(1/3))); else L0(i) = 903.3*(Xyz0(i,2)/100); a0(i) = 3893.5*((Xyz0(i,1)/94.83)-(Xyz0(i,2)/100)); b0(i) = 1557.4*((Xyz0(i,2)/100)-(Xyz0(i,3)/107.38)); end
end
%% 通过蒙特卡洛模拟进行配方选择
for q = 1:2000000 %赋予三个着色剂范围内的随机浓度 Re = (5-0.05)*rand()+0.05; Ye = (5-0.05)*rand()+0.05; Bu = (5-0.05)*rand()+0.05; ReP(q) = Re; YeP(q) = Ye; BuP(q) = Bu; %用来观察单个着色剂能否满足条件 %Re = (5-0.05)*rand()+0.05; %Ye = 0; %Bu = 0; % %Re = 0；
%Ye = (5-0.05)*rand()+0.05; %Bu = 0; % %Re = 0； %Ye = 0 %Bu = (5-0.05)*rand()+0.05; % 得到各个波长下各个颜色的K/S值矩阵 ECKS(:,1) = Re * O(:,1); ECKS(:,2) = Ye * O(:,2); ECKS(:,3) = Bu * O(:,3); ECKS = ECKS+P; % 得到各个波长下的K/S值 KS = (ECKS(:,1)*Re + ECKS(:,2)*Ye + ECKS(:,3)*Bu)/100 + JiC; % 得到各个波长对应的R值 R = (1+KS)-(KS.*KS+2*KS).^(0.5); % 计算对应的L,a,b值 Xyz = 0.1 * (R' * S) * 20; if(((Xyz(1)/94.83) > 0.008856)&&((Xyz(2)/100) > 0.008856)&&((Xyz(3)/107.38) >
0.008856)) L = 116*((Xyz(2)/100)^(1/3))-16; a = 500*(((Xyz(1)/94.83)^(1/3))-((Xyz(2)/100)^(1/3))); b = 200*(((Xyz(2)/100)^(1/3))-((Xyz(3)/107.38)^(1/3))); else L = 903.3*(Xyz(2)/100); a = 3893.5*((Xyz(1)/94.83)-(Xyz(2)/100)); b = 1557.4*((Xyz(2)/100)-(Xyz(3)/107.38)); end % 色差计算 for v = 1:10 DeltaL = L - L0(v); DeltaA = a - a0(v); DeltaB = b - b0(v); DeltaE = (DeltaL^2+DeltaA^2+DeltaB^2)^(0.5); %进行条件判断并存储对应数据 if((DeltaE<1)&&(DeltaE>0.001)) Esave(v,end)=DeltaE; Esave(v,end+1)=0; Resave(v,end)=Re; Resave(v,end+1)=0; Yesave(v,end)=Ye; Yesave(v,end+1)=0; Busave(v,end)=Bu; Busave(v,end+1)=0; endend
end
%% 绘制浓度散点图
plot3(ReP,YeP,BuP);
grid on;
xlabel('红色着色剂浓度');
zlabel('蓝色着色剂浓度');
ylabel('黄色着色剂浓度');
%% （第二问）对结果进行筛选，找到各个样本色差最小的10个配方
for L = 1:10 %进行数据预处理 Ef = find(Esave(L,:)==0); [mf,nf] = size(Ef); for g = 1:nf Esave(L,Ef(g))=+inf; end [y,u]=sort(Esave(L,:)); %将色差按升序进行排序 for t = 1:10 %将对应的结果和配方进行存储 Eshow(L,t) = Esave(L,u(t)); Reshow(L,t) = Resave(L,u(t)); Yeshow(L,t) = Yesave(L,u(t)); Bushow(L,t) = Busave(L,u(t)); end
end
