- 冒泡排序（Bubble Sort）
- 基本原理：
- 冒泡排序是一种简单的比较排序算法。它重复地走访要排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小（或越大）的元素会经由交换慢慢 “浮” 到数列的顶端（或底端），就像气泡在水中逐渐向上浮起一样。
- 具体步骤：
- 从数列的第一个元素开始，比较相邻的两个元素。例如，对于一个整数数列
int[] arr = {5, 4, 3, 2, 1}，首先比较arr[0]（5）和arr[1]（4），因为5 > 4，所以交换它们的位置，数列变为{4, 5, 3, 2, 1}。 - 接着比较
arr[1]（5）和arr[2]（3），交换位置后得到{4, 3, 5, 2, 1}。按照这样的方式，依次比较相邻的元素，经过第一轮比较后，最大的元素就会 “浮” 到数列的末尾，此时数列变为{4, 3, 2, 1, 5}。 - 然后进行第二轮比较，从第一个元素开始，重复上述步骤，但是这次只需要比较到倒数第二个元素，因为最大的元素已经在最后位置确定了。经过第二轮比较，第二大的元素会移动到倒数第二个位置。
- 持续这个过程，总共需要进行
n - 1轮比较（n是数列的长度），直到整个数列排序完成。
- 时间复杂度和空间复杂度：
- 时间复杂度：
- 最坏情况：当数列是倒序排列时，需要进行
n(n - 1)/2次比较和交换操作，时间复杂度为。例如，对于一个长度为 5 的倒序数列{5, 4, 3, 2, 1}，第一轮需要比较 4 次，第二轮需要比较 3 次，以此类推，总共需要比较次，符合（时，）的公式。 - 最好情况：当数列已经是正序排列时，只需要进行
n - 1次比较，没有交换操作，时间复杂度为。 - 平均情况：时间复杂度为，因为在平均情况下，元素的顺序是比较杂乱的，需要进行大量的比较和交换操作。
- 空间复杂度：因为冒泡排序只需要几个额外的变量来进行元素交换，不需要额外的存储空间来存储数据，所以空间复杂度为。
- 代码示例：
public class BubbleSort {public static void bubbleSort(int[] arr) {int n = arr.length;for (int i = 0; i < n - 1; i++) {for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) {if (arr[j] > arr[j + 1]) {// 交换元素int temp = arr[j];arr[j] = arr[j + 1];arr[j + 1] = temp;}}}}
}
- 插入排序（Insertion Sort）
- 基本原理：
- 插入排序的基本操作是将一个数据插入到已经排好序的有序数列中，从而得到一个新的、长度加 1 的有序数列。它的工作方式就像人们排序一手扑克牌一样，开始时，左手为空并且桌上的牌面向下。然后，每次从桌上拿起一张牌并将它插入到左手中正确的位置。为了找到这张牌的正确位置，需要将它与手中已有的牌从右到左进行比较。
- 具体步骤：
- 对于一个数列
int[] arr = {5, 3, 4, 6, 1}，假设第一个元素arr[0]（5）已经是有序的。 - 从第二个元素
arr[1]（3）开始，将它与前面的元素（此时只有arr[0]）进行比较。因为3 < 5，所以将 3 插入到 5 的前面，此时数列变为{3, 5, 4, 6, 1}。 - 接着处理
arr[2]（4），将 4 与前面已经排序好的元素（{3, 5}）从右到左进行比较。首先与 5 比较，因为4 < 5，交换它们的位置，得到{3, 4, 5, 6, 1}。 - 以此类推，每次将一个新元素插入到前面已经排序好的数列中的合适位置，直到整个数列排序完成。
- 时间复杂度和空间复杂度：
- 时间复杂度：
- 最坏情况：当数列是倒序排列时，每次插入一个元素都需要移动前面的所有元素，总共需要进行
n(n - 1)/2次比较和移动操作，时间复杂度为。例如，对于数列{5, 4, 3, 2, 1}，插入 4 时需要移动 1 个元素，插入 3 时需要移动 2 个元素，以此类推，总共需要移动次，符合（时，）的公式。 - 最好情况：当数列已经是正序排列时，只需要进行
n - 1次比较，没有元素移动操作，时间复杂度为。 - 平均情况：时间复杂度为，因为在平均情况下，元素的插入操作也需要比较和移动一定数量的元素。
- 空间复杂度：插入排序只需要几个额外的变量来进行元素比较和移动，不需要额外的存储空间来存储数据，所以空间复杂度为。
- 代码示例：
public class InsertionSort {public static void insertionSort(int[] arr) {int n = arr.length;for (int i = 1; i < n; i++) {int key = arr[i];int j = i - 1;while (j >= 0 && arr[j] > key) {arr[j + 1] = arr[j];j = j - 1;}arr[j + 1] = key;}}
}
- 选择排序（Selection Sort）
- 基本原理：
- 选择排序的基本思想是在未排序的数列中找到最小（或最大）的元素，将其与数列的第一个（或最后一个）未排序元素交换位置。然后，在剩下的未排序元素中继续这个操作，直到所有元素都排序完成。
- 具体步骤：
- 对于一个数列
int[] arr = {5, 4, 3, 2, 1}，首先在整个数列中找到最小的元素，即 1。然后将 1 与第一个元素 5 交换位置，此时数列变为{1, 4, 3, 2, 5}。 - 接着在剩下的未排序元素
{4, 3, 2, 5}中找到最小的元素，即 2。将 2 与第二个元素 4 交换位置，得到{1, 2, 3, 4, 5}。 - 按照这样的方式，每次从剩余的未排序元素中选择最小的元素，并将其放置到合适的位置，直到整个数列排序完成。
- 时间复杂度和空间复杂度：
- 时间复杂度：
- 无论数列的初始顺序如何，选择排序都需要进行 `n (n - 1)/2次比较操作来找到最小（或最大）元素，时间复杂度为O(n^2)$。例如，对于一个长度为5的数列，第一轮需要比较4次来找到最小元素，第二轮需要比较3次来找到剩余元素中的最小元素，以此类推，总共需要比较次，符合（时，$5×(5 - 1)/2 = 10$）的公式。
- 交换操作的次数最多为
n - 1次，因为每次交换都将一个元素放置到最终位置。
- 空间复杂度：选择排序只需要几个额外的变量来进行元素比较和交换，不需要额外的存储空间来存储数据，所以空间复杂度为。
- 代码示例：
public class SelectionSort {public static void selectionSort(int[] arr) {int n = arr.length;for (int i = 0; i < n - 1; i++) {int min_idx = i;for (int j = i + 1; j < n; j++) {if (arr[j] < arr[min_idx]) {min_idx = j;}}// 交换元素int temp = arr[min_idx];arr[min_idx] = arr[i];arr[i] = temp;}}
}
- 快速排序（Quick Sort）
- 基本原理：
- 快速排序是一种分治算法。它的基本思想是选择一个基准元素（pivot），通过一趟排序将待排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比基准元素小，另一部分的所有数据都比基准元素大。然后，分别对这两部分数据进行快速排序，整个排序过程可以递归地进行，直到整个数列排序完成。
- 具体步骤：
- 例如，对于一个数列
int[] arr = {5, 2, 8, 1, 9}，选择第一个元素 5 作为基准元素（pivot）。 - 设置两个指针，一个从数列的左边开始（
left），一个从数列的右边开始（right）。 - 从右向左移动
right指针，找到第一个小于基准元素的元素，即 1。同时，从左向右移动left指针，找到第一个大于基准元素的元素，即 8。 - 交换 1 和 8 的位置，此时数列变为
{5, 2, 1, 8, 9}。 - 继续移动指针，直到
left和right相遇。此时，将基准元素 5 与left指针指向的元素（1）交换位置，得到{1, 2, 5, 8, 9}。这样，就将数列分成了两部分，左边部分{1, 2}都小于 5，右边部分{8, 9}都大于 5。 - 然后对左右两部分
{1, 2}和{8, 9}分别进行快速排序，直到整个数列排序完成。
- 时间复杂度和空间复杂度：
- 时间复杂度：
- 平均情况：时间复杂度为。这是因为每次划分可以将数列分为大致相等的两部分，递归的深度为，每层需要的时间来划分。例如，对于一个长度为 8 的数列，第一次划分后得到两个长度约为 4 的子数列，第二次划分后得到四个长度约为 2 的子数列，以此类推，划分的次数大约为次，每次划分需要比较和移动元素，时间复杂度约为。
- 最坏情况：当数列已经是正序或倒序排列，并且每次选择的基准元素都是最大或最小元素时，快速排序退化为冒泡排序，时间复杂度为。
- 空间复杂度：
- 最坏情况：需要的栈空间来存储递归调用的信息，因为在最坏情况下，递归深度为
n。 - 平均情况：空间复杂度为，因为在平均情况下，递归深度为。
- 代码示例：
public class QuickSort {public static void quickSort(int[] arr, int low, int high) {if (low < high) {int pivotIndex = partition(arr, low, high);quickSort(arr, low, pivotIndex - 1);quickSort(arr, pivotIndex + 1, high);}}private static int partition(int[] arr, int low, int high) {int pivot = arr[low];int i = low + 1;int j = high;while (true) {while (i <= j && arr[i] <= pivot) {i++;}while (i <= j && arr[j] > pivot) {j--;}if (i > j) {break;}int temp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = temp;}int temp = arr[low];arr[low] = arr[j];arr[j] = temp;return j;}
}
- 归并排序（Merge Sort）
- 基本原理：
- 归并排序也是一种分治算法。它的基本思想是将一个数列分成两个子数列，对每个子数列进行排序，然后将排序好的子数列合并成一个有序的数列。这个过程可以递归地进行，直到子数列的长度为 1，此时数列已经排序完成。
- 具体步骤：
- 例如，对于一个数列
int[] arr = {5, 3, 8, 1, 9}。 - 首先将数列分成两个子数列，即
{5, 3}和{8, 1, 9}。 - 继续对这两个子数列进行划分，得到
{5}、{3}、{8}、{1}、{9}，此时子数列的长度为 1，已经是有序的。 - 然后开始合并过程，先合并
{5}和{3}，得到{3, 5}。接着合并{8}和{1}，得到{1, 8}。再合并{1, 8}和{9}，得到{1, 8, 9}。 - 最后合并
{3, 5}和{1, 8, 9}，得到{1, 3, 5, 8, 9}，此时整个数列排序完成。
- 时间复杂度和空间复杂度：
- 时间复杂度：
- 无论数列的初始顺序如何，归并排序的时间复杂度都是。因为每次划分需要的时间，总共需要划分次，每次合并需要的时间。例如，对于一个长度为 8 的数列，第一次划分得到两个长度为 4 的子数列，第二次划分得到四个长度为 2 的子数列，以此类推，划分次数为次。每次合并两个子数列时，需要比较和移动元素，时间复杂度为。
- 空间复杂度：归并排序需要一个临时数组来存储合并后的元素，所以空间复杂度为。
- 代码示例：
public class MergeSort {public static void mergeSort(int[] arr) {if (arr.length > 1) {int mid = arr.length / 2;int[] left = new int[mid];int[] right = new int[arr.length - mid];for (int i = 0; i < mid; i++) {left[i] = arr[i];}for (int i = mid; i < arr.length; i++) {right[i - mid] = arr[i];}mergeSort(left);mergeSort(right);merge(arr, left, right);}}private static void merge(int[] arr, int[] left, int[] right) {int i = 0, j = 0, k = 0;while (i < left.length && j < right.length) {if (left[i] <= right[j]) {arr[k++] = left[i++];} else {arr[k++] = right[j++];}}while (i < left.length) {arr[k++] = left[i++];}while (j < right.length) {arr[k++] = right[j++];}}
}
)
