【算法】用堆结构解决Top N问题

在日常工作中,以及在算法练习和刷题时,Top N问题是经常遇到的。这里描述一种使用堆结构来处理Top N的问题。

二叉堆可以看成近似的完全二叉树。

堆的性质:
大根堆:除了根以外的所有节点i都要满足:A[PARENT(i)]≥A[i], 也就是说,某个节点至多与其父节点一样大。因此,堆中的最大元素存放在根节点中;并且,在任一子树中,该子树所包含的所有节点的值都不大于该子树根节点的值。
堆数据结构的最常用用法就是实现有点队列。
小根堆定义类似,将符号方向反过来(等号保留)即可。

第K近障碍物查询

在leetcode 3275 第K近障碍物查询中,就是一个典型的top N问题。
问题的描述:

有一个无限大的二维平面。
给你一个正整数 k ,同时给你一个二维数组 queries ,包含一系列查询:
queries[i] = [x, y] :在平面上坐标 (x, y) 处建一个障碍物,数据保证之前的查询 不会 在这个坐标处建立任何障碍物。
每次查询后,你需要找到离原点第 k 近 障碍物到原点的 距离 。
请你返回一个整数数组 results ,其中 results[i] 表示建立第 i 个障碍物以后,离原地第 k 近障碍物距离原点的距离。如果少于 k 个障碍物,results[i] == -1 。
注意,一开始 没有 任何障碍物。
坐标在 (x, y) 处的点距离原点的距离定义为 |x| + |y| 。

问题分析:从题目描述来看,待返回的结果要求queries的距离的第k近,也就是第k小。

常规列表排序

维护一个列表,用来存储至多k+1个元素,然后进行排序,取第k就是第k近的了。
代码实现如下:

class Solution {public int[] resultsArray(int[][] queries, int k) {int len = queries.length;int[] result  = new int[len];List<Integer> klist = new ArrayList<>();for(int i=0;i<len;i++){int distance = Math.abs(queries[i][0]) + Math.abs(queries[i][1]);klist.add(distance);if(klist.size()<k){result[i]=-1;}else{Collections.sort(klist);result[i]=klist.get(k-1);if(klist.size()>k){klist = klist.subList(0,k);}}}return result;}
}

这里的程序运行正常,但看起来运行效率不高。如果k很大,那么每次要排序的元素就会很多,耗时长。因为题目的约束里面,1 <= k <= 10^5

使用大根堆

在前面维护的是一个长度至多为k+1的列表,然后排序;但其实每次排序时,只会有一个元素的增量,这种正是堆结构的用武之地。
从需求分析来看,第k近,也就意味着如果取最小的k个元素构建堆,那么堆顶元素就是第k哥最小值,显然就是k近的元素。

class Solution {public int[] resultsArray(int[][] queries, int k) {int len = queries.length;int[] result = new int[len];PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>((o1, o2) -> o2.compareTo(o1));for (int i = 0; i < len; i++) {int distance = Math.abs(queries[i][0]) + Math.abs(queries[i][1]);pq.offer(distance);if (pq.size() < k) {result[i] = -1;} else {if (pq.size() > k) {pq.poll();}result[i] = pq.peek();}}return result;}
}

效果对比

在使用列表排序时,碰到特殊(异常)case时,会极大的损耗性能。而使用堆结构时,由于堆的大小、每次操作的耗时都会小很多。

类似题目

前K个高频元素

leetcode 347. 前k个高频元素是这么定义的:

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ,请你返回其中出现频率前 k 高的元素。你可以按 任意顺序 返回答案。

问题分析:
这里可以看成是堆nums中的元素进行计数统计,然后求得top k值对应的计数值,然后计数值对应的元素即可。
这里是求前k高,采用小根堆。
在实现中,可以采用哈希表记录元素与计数,针对计数构建小根堆,在堆增加元素要大于k的时候,如果新元素小于等于堆顶元素则抛弃,如果新元素比堆顶元素大,则将堆顶元素出堆,并把新值入堆。

滑动窗口最大值

leetcode 239.滑动窗口最大值的题目描述如下:

给你一个整数数组 nums,有一个大小为 k 的滑动窗口从数组的最左侧移动到数组的最右侧。你只可以看到在滑动窗口内的 k 个数字。滑动窗口每次只向右移动一位。
返回 滑动窗口中的最大值 。

问题分析:
这里的要求是需要堆滑动窗口的k个值求最大值,特性是每次滑动一次,则会去掉一个值,而重新加入一个值。这就很符合堆结构的特征。
在具体实现时,继续构建一个大顶堆,但为了判断堆中的元素是否已经过了滑动窗口的界,还需要记录元素的索引值。
在窗口滑动时,将新元素和对应的索引入堆,这时候需要看堆顶元素是否在滑动窗口中,如果在,则堆顶元素就是最大值。
如果不在,需要持续将堆顶元素移除,直到找到的堆顶元素在在滑动窗口中。

总结

从堆的定义,以及上面所述例子,在碰到与片段有关的第k大、k小等问题时,可以考虑下堆实现。

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