大数运算(加减乘除和输入、输出模块)

      为什么会有大数呢?因为long long通常为64位范围约为 -9,223,372,036,854,775,808 到 9,223,372,036,854,775,807,最多也就19位,那么超过19位的如何计算呢?这就引申出来大数了。

        本博客适合思考过这道题,但是没做出来或感觉代码不够简洁的朋友来看。


  简述   

          通过这道题,我加深了对数据处理的重要性以及模块化编程的重要性,虽然没有用到高级的算法,但是给我带来了好多新的想法。

        加减乘除运算为人类发明的,那么这道题自然要用人类的思路来解这道题,我们小学便以及学过,故我们只需要将小学的做题思维转化为我们的高级语言就行了。简单点来说就是模拟我们运算加减乘除的过程。

        总代码不超过一百行,但如果我们的数据处理不好,和不以一个小学生的思维去做这道题,那二百行都不一定写得完。我之前的写法便是没有以一个正常人的思维去思考,昨天问了老师这道题,才理清问题。

  •         加法运算:两个数从低位到高位依次相加,大于10进位。
  •         减法运算:两个数从低位到高位依次相加,大于10补位。
  •         乘法运算:乘数的从低位到高位每一位都乘以被乘数,大于10进位。
  •         除法运算:从被除数的最高位开始,减去商的一位乘以除数,将余数补位。

        首先要考虑的便是数据存储的问题。输入30位整数:

100000000000000000000000000030

        从左到右依次减小,超过19为位肯定要用数组存了,那么用什么类型呢,这里每一个地址存储一个个位数,那么就不超过4个bit,其实用半个bits就行了,我们这里就用1个bist的char类型来存储。这里我们假设所有输入的数字不超过50位(范围很重要,范围一旦确定,这道题就会简单很多了)。

        我们定义大数类型:

#define N 50
typedef char BIG_NUM[N];//存储大数

输入/输出模块

        运算无非就是进位和补位,那么怎么才能进位和补位方便呢?我们的输入输出方式要使得进位和补位方便,现在我展示两种方法:

  • 靠右存储:高位补零 ,去除补零外,从左到右依次减小。

  • 靠左存储:低位补零,去除补零外,从左到右依次减小。

        我们既要保证进位补位方便还要保证输入输出方便。假设我们用靠左存储存储,如果计算998+2=1000的话,那么得到的结果就需要手动进位,并且我们还要计算位数。

        如果用靠右存储的话,左边高位补0,因为0+0=0,0*0=0,0/0=0,0-0=0,故我们不需要考虑进位问题,因为只要位数不超过50,那么高位的0再需要进位时更改就行了,至于位数问题,那就只需再输出时去掉高位的零就行了。

        故我们就已经确定了输入输出模块的内容了。

        输入的时候因为是从高到低输入,不知道具体多少位,所以我们需要先靠左存储,然后移位到右边。

        输出时从左到右(高位到低位)依次输出,可以选择是否输出高位0。

输入

void input(BIG_NUM x)
{int i, j;for(i=0; i<N && isdigit(x[i]=getchar()); ++i) x[i] -= '0';//i(从0开始)为大数加上'\n'的个数for(--i, j=N-1;i>=0;--i,--j) x[j] = x[i];//移位至靠右存储先执行一个i--,是因为现在的x[i]是'\n'for(;j>=0;--j) x[j] = 0;//前面补0
}

输出

void output(BIG_NUM x)
{int i;for(i=0; i<N-1 && x[i]==0; ++i);//i<N-1因为要保证结果为0的情况for(; i<N; ++i) putchar('0'+x[i]);
}

加法 

int add(BIG_NUM x, BIG_NUM y, BIG_NUM z) /* z = x + y */
{int i, carry;for(i=N-1, carry=0; i>=0; --i){int s = x[i] + y[i] + carry;z[i] = s % 10;carry = s / 10;}return carry;
}

         这里如果返回的carry不为0就代表得到的结果大于五十位,可以在根据实际情况进行改进。

减法 

int sub(BIG_NUM x, BIG_NUM y, BIG_NUM z) /* z = x - y */
{int i, carry;for(i=N-1, carry=0; i>=0; --i){int s = x[i] - y[i] - carry;if( s < 0) {carry = 1; s = 10 + s;} else carry = 0;z[i] = s;}return carry;
}

         carry返回为1就代表相减的两个数,第一个小于第二个。

 乘法

int mul(BIG_NUM x, BIG_NUM y, BIG_NUM z) /* z = x * y */
{int i, j, carry;char t[N+N];memset(t, 0, N+N);for(j=N-1; j>=0; --j)for(i=N-1, carry=0; i>=0; --i){int s = t[i+j+1] + x[i] * y[j] + carry;t[i+j+1] = s % 10;carry = s / 10;}t[0] = carry;for(i=0; i<N; ++i) z[i] = t[i+N];for(i=0, carry=0; i<N; ++i) carry |= t[i];//判断是否超过50return carry;
}

         这里如果返回的carry不为0就代表得到的结果大于五十位,可以在根据实际情况进行改进。其中t是100位,可以适当调整。

除法

        除法部分稍微复杂,但还是模拟小学做题,每一位商的值就是1-9,和我们算除法一样,这一点用到逆向思维,这九种情况我们需要一个一个来试试。比如108/9=n,换成n*9=108,n的值为1-9一个一个试,如果n为9还是不够,那么剩下的就是余数,下一位就需要减少余数*10。

        我们这里做一个例子模仿一下代码的运算。如1080/9,先判断1-n*9,当n为0时,余数1,当n为1时,余数为负,故这一位的商为0,余数为1;

        再判断 1*10+0-n*9,这里的n为1,依次类推便能得到结果为120.

        代码如下:

void seti(BIG_NUM x, unsigned int u){ /* y = u */int i, s;for(i=N-1, s=u; i>=0; --i){ x[i] = s % 10; s /= 10; }
}void set(BIG_NUM y, BIG_NUM x){ /* y = x */memcpy(y, x, N);
}void div(BIG_NUM x, BIG_NUM y, BIG_NUM z, BIG_NUM r) /* z = x / y */
{int i, q;BIG_NUM ten, s, t;seti(r, 0);//初始化赋零seti(ten, 10);//用于补位的余数*10seti(s, 0);//初始化赋零for(i=0; i<N; ++i){mul(r, ten, r);//余数高位到低位需乘10seti(s, x[i]);/* s = x[i] x[i]为被除数的某一位*/add(r, s, r);/* r = r+s*/for(q=0; q<10 && !sub(r, y, t); ++q)/* r=r-y */ set(r, t);//每次循环t减小,最后一次循环得到的t为余数z[i] = q;}
}

 总结

        大数运算可以扩展的有很多,比如这几个模块没有考虑负数情况,还有结果大于五十位的扩展等等,但核心部分已经解决,这些根据情况而定,我把这些叫做程序预处理,如下:

正负判断(程序预处理)

    四种情况:++;+-;-+;--

    + +:不影响计算

    - +:乘除先剔除符号在运算,加法剔除A的负号,A+B变成B-A,减法剔除A的负号,A-B变成-(A+B)

    + -: 乘除先剔除符号在运算, 加法剔除B的负号,A+B变成A-B,减法剔除B的负号,A-B变成A+B

    - -:乘除先剔除符号在运算,加法剔除负号,A+B变成-(A+B),减法剔除负号,A-B变成B-A;

         模块化的好处就是代码清晰明了,省略了好多冗杂的部分,而且不同函数之间的引用和扩展性能变高。

        总的来说,这道题也是数据思维的一种体现,正确的数据理解和思维,大大降低了程序设计的难度,带来的效果有时候比算法的优化效果更棒!

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