C++_进阶：AVL树

文章目录

    • 1. AVL树的概念
    • 2. AVL树节点的定义
    • 3. AVL树的插入
    • 4. AVL树的旋转
      • 4.1 右单旋
      • 4.2 左单旋
      • 4.3 左右双旋
      • 4.4 右左双旋
    • 5.AVL树的验证
    • 6. AVL树模拟实现

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1. AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

🔅因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：📋当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度，这样的树就是AVL树。

📋一棵AVL树是具有以下性质的二叉搜索树：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差 (简称平衡因子) 的绝对值不超过1(-1/0/1)

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🔅如果一棵二叉搜索树是高度平衡(满足以上两个条件)的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O(logn) , 搜索时间复杂度O(logn)。

2. AVL树节点的定义

AVL的节点在原来二叉搜索树的节点上，增加了两个成员：父节点指针变量，以及平衡因子变量。

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};

3. AVL树的插入

🔅AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。
那么AVL树的插入过程可以分为两步:

  • 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  • 调整节点的平衡因子

🔅更新平衡因子规则：
1.📝 插入的是左子树的节点，平衡因子- -，插入的是右子树的节点，平衡因子++。
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2. 📝调节后的平衡因子为1/-1，0，2/-2 往下需要做的是不同的。调节后的平衡因子为0时，停止向上更新平衡因子。

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调节后的平衡因子为1/-1时，继续向上调整平衡因子

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调节后的平衡因子为2/-2时，就要调整树了，并且不再向上调整平衡因子
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代码示例：

//接收一个 键值对pair类型 作为插入的值
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}//按照二叉搜索树的方式插入新节点Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//放新节点cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// 更新平衡因子while (parent){	// 更新双亲的平衡因子//先判断插入的位置是父亲的左边还是右边//左边-- 右边++if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;// 更新后检测双亲的平衡因子//如果平衡因子为0，停止向上更新平衡因子if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//调节后的平衡因子为1/-1时，继续向上调整平衡因子// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 调节后的平衡因子为2/-2时，就要调整树了，并且不再向上调整平衡因子// 双亲的平衡因子为2/-2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent// 为根的树进行旋转处理if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else {RotateLR(parent);}break;}else{assert(false);}}return true;
}

4. AVL树的旋转

🔅AVL树之所以能保持平衡，原因在于AVL树会 旋转，上面Insert代码中如果平衡因子== 2/-2时，RotateL，RotateR，RotateRL，RotateLR就是调整该树的函数。

🔅如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

4.1 右单旋

1️⃣ 📝新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋在这里插入图片描述
🔅最终根据情况重新设定平衡因子：cur的平衡因子变为0，parent的平衡因子变为0。

void  RotateR(Node* parent)
{// subL: parent的左孩子// subLR: Parent左孩子的右孩子Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 旋转完成之后，10的右孩子作为父亲的左孩子parent->_left = subLR;// 如果10的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲if (subLR)subLR->_parent = parent;// 因为30可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存30的双亲Node* parentParent = parent->_parent;// 30作为 10的右孩子subL->_right = parent;// 更新30的双亲parent->_parent = subL;// 如果30是根节点，根新指向根节点的指针if (parentParent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{	// 如果30是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

4.2 左单旋

2️⃣ 📝新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
在这里插入图片描述
🔅最终根据情况重新设定平衡因子：cur的平衡因子变为0，parent的平衡因子变为0。

//与右旋逻辑大体一致
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parentParent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

4.3 左右双旋

3.📝 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
🔅但是实际情况中，插入的节点在son节点的左边还是右边我们是不知道的，也就是说，插入后的b树与c树的高度其实不确定的，只能确定不是h就是h-1，这会影响最终平衡因子的分布。根据bc树高度的不同可以分出三种情况：
在这里插入图片描述
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//左右双旋逻辑：
void RotateLR(Node* parent)
{//parent的左节点 -> curNode* subL = parent->_left;//parent的左节点的右节点 -> sonNode* subLR = subL->_right;// 记下 son 的平衡因子// 用son的平衡因子判断bc树不同的高度情况int bf = subLR->_bf;//复用左旋逻辑 , 对cur左旋RotateL(parent->_left);//复用右旋逻辑 ， 对parent右旋RotateR(parent);//当b = h,c = hif (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}//当b = h-1,c = helse if (bf == 1){subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf =0;}//b = h,c = h-1else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else{assert(false);}
}

4.4 右左双旋

4️⃣新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
在这里插入图片描述

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//右左双旋逻辑：与左右双旋逻辑大体一致
void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf =0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}

5.AVL树的验证

🔅AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

  1. 验证其为二叉搜索树。如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。
  2. 验证其为平衡树每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)节点的平衡因子是否计算正确。
bool _IsAVLTree(Node* pRoot)
{if (pRoot == nullptr){return true;}if (_Height(pRoot->_right) - _Height(pRoot->_left) != pRoot->_bf || abs(_Height(pRoot->_right) - _Height(pRoot->_left)>1)){cout << pRoot->_kv.first << ":" << pRoot->_kv.second << " bf=" << pRoot->_bf << endl;cout << "_Height(pRoot->_right) - _Height(pRoot->_left)=" << _Height(pRoot->_right) - _Height(pRoot->_left);return false;}return _IsAVLTree(pRoot->_left) && _IsAVLTree(pRoot->_right);
}//计算树高度函数
int _Height(Node* pRoot)
{if (pRoot == nullptr){return 0;}size_t leftH = _Height(pRoot->_left);size_t rightH = _Height(pRoot->_right);return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
}

6. AVL树模拟实现

#pragma once
#include<iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;//AVL采用键值对数结构
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public://默认生成默认构造函数AVLTree() = default;//拷贝构造AVLTree(const AVLTree<K, V>& t){_root = Copy(t._root);}//赋值重载AVLTree<K, V>& operator=(AVLTree<K, V> t){swap(_root, t._root);return *this;}//析构函数~AVLTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}//插入bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//放新节点cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// 更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 不平衡了，旋转处理if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else {RotateLR(parent);}break;}else{assert(false);}}return true;}//查找函数Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}//打印树，中序void InOrder(){inOrder(_root);cout << endl;}//验证函数bool IsAVLTree(){return _IsAVLTree(_root);}private:bool _IsAVLTree(Node* pRoot){if (pRoot == nullptr){return true;}if (_Height(pRoot->_right) - _Height(pRoot->_left) != pRoot->_bf || abs(_Height(pRoot->_right) - _Height(pRoot->_left)>1)){cout << pRoot->_kv.first << ":" << pRoot->_kv.second << " bf=" << pRoot->_bf << endl;cout << "_Height(pRoot->_right) - _Height(pRoot->_left)=" << _Height(pRoot->_right) - _Height(pRoot->_left);return false;}return _IsAVLTree(pRoot->_left) && _IsAVLTree(pRoot->_right);}int _Height(Node* pRoot){if (pRoot == nullptr){return 0;}size_t leftH = _Height(pRoot->_left);size_t rightH = _Height(pRoot->_right);return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;}void inOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}inOrder(root->_left);cout << root->_kv.first<<":"<<root->_kv.second<<" ";inOrder(root->_right);}//左旋void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parentParent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}//右旋void  RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parentParent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}//右左旋void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf =0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}//左右旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf =0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else{assert(false);}}//摧毁树函数void Destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}//拷贝函数Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}private:Node* _root = nullptr;
};

本文就到这里，感谢你看到这里❤️❤️！ 我知道一些人看文章喜欢静静看，不评论🤔，但是他会点赞😍，这样的人，帅气低调有内涵😎，美丽大方很优雅😊，明人不说暗话，要你手上的一个点赞😘！

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