函数 pow_mod 计算 (x^y \mod \text{mod}) 的值，其中 (x) 是基数，(y) 是指数，(\text{mod}) 是模数。它使用的是“快速幂”算法，这是一种高效计算大整数幂的方法，并在每一步计算中都取模以防止溢出。这个算法的时间复杂度是 (O(\log y))。

让我们逐步解释这个函数的实现：

int pow_mod(int x, int y, int mod) {int res = 1;  // 初始化结果为1，因为任何数的0次幂都是1while (y) {  // 当y不为0时继续循环if (y % 2 == 1) {  // 如果y是奇数res = res * x % mod;  // 将当前的x乘到结果上并取模}x = x * x % mod;  // 将x平方并取模y /= 2;  // 将y除以2}return res;  // 返回最终的结果
}

快速幂算法的原理：

快速幂算法通过分治法，将指数不断对半分来减少乘法运算的次数。具体来说，它利用了以下性质：

• (x^{2k} = (x^k)2)
• (x^{2k+1} = x \cdot (x^k)2)

通过这种方法，可以将计算复杂度从 (O(y)) 降低到 (O(\log y))。

举例说明：

假设我们要计算 (3^{13} \mod 5)：

1. 初始值：x = 3, y = 13, mod = 5, res = 1
2. y 是奇数 (13 % 2 == 1)，所以 res = (res * x) % mod = (1 * 3) % 5 = 3
3. 平方 x：x = (x * x) % mod = (3 * 3) % 5 = 4
4. y 右移：y = 13 / 2 = 6

继续这个过程，直到 y 为 0，最后得到的 res 就是结果。