极限两边夹定理

1. 定义

两边夹定理 (又称作夹逼定理) 说的是，如果一个函数 $f$ 被夹在函数 $g$ 和函数 $h$ 之
间，当 $x\to a$ 时，这两个函数 $g$ 和 $h$ 都收敛于同一个极限 $L$，那么当 $x\to a$ 时, $f$ 也收敛于极限 $L$。

2. 深入理解

以下是对该定理的一个更精确的描述。假设对于所有的在 $a$ 附近的 $x$, 我们
都有 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，即 $f(x)$ 被夹在 $g(x)$ 和 $h(x)$ 之间。此外，我们假设 ${\lim }_{x\to a}g(x)=L$ 且 ${\lim }_{x\to a}h(x)=L$。那么我们可以得出结论：${\lim }_{x\to a}f(x)=L$，即当 $x\to a$ 时，所有三个函数都有相同的极限。

在图像中用实线表示的函数 $f$ 被夹在其他两个函数 $g$ 和 $h$ 之间，当 $x\to a$ 时,
$f(x)$ 的极限被迫趋于 $L$。

3. 实例

对于单侧极限，我们也有一个类似版本的三明治定理，只是这时不等式 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ 仅在 $a$ 的一侧成立，而且还是我们关心的那一侧。例如，

$$\underset{x\to 0+}{\lim }x\cdot sin(\frac{1}{x})$$

$y=xsin(\frac{1}{x})$ 的图像和 $y=sin(\frac{1}{x})$ 的图像很相似，只是现在，前面有
一个 $x$ 致使函数夹在 $y=x$ 和 $y=-x$ 之间。下图是 $x$ 在 $0$ 和 $0.3$ 之间的
函数图像。

从图中可以看到，当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数仍旧有激烈的振荡，但现在它们被 $y=x$ 和 $y=-x$ 的图像抑制。

这个例子刚好可以应用两边夹定理，函数 $g$ 是下方的包络线 $y=-x$，而函数 $h$ 是上方的包络线 $y=x$。我们需要证明对于 $x>0$，有 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，由于只需要 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的右极限，所以我们不关心 $x<0$ 时的情况。

那么当 $x>0$ 时，要怎样证明 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ 呢？办法是将函数的值域代入表达式中，$(\frac{1}{x})$ 的正弦都处于 $-1$ 和 $1$ 之间 ，代入

$$-1\le sin(\frac{1}{x})\le 1$$

现在用 $x$ 乘以这个不等式，即将 $x$ 代入到表达式，由于 $x>0$，不会改变表达式的符号，得到

$$-x\le sin(\frac{1}{x})\le x$$

而上式这正是我们需要的两边夹定理表达式 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ 最后，注意到

$$\underset{x\to 0+}{\lim }g(x)=\underset{x\to 0+}{\lim }(-x)=0及\underset{x\to 0+}{\lim }h(x)=\underset{x\to 0+}{\lim }x=0$$

因此，由于当 $x\to 0+$ 时，两边夹的 $-x$ 和 $x$ 的值收敛于同一个数 $0$（即函数 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的值收敛于同一个数 $0$），所有 $f(x)$ 也一样。也就是说，使用两边夹定理证明了以下极限

$$\underset{x\to 0+}{\lim }x\cdot sin(\frac{1}{x})=0$$

要记住，如果前面没有因子 $x$，上式显然不成立，因为当 $x\to 0+$ 时，$sin(\frac{1}{x})$ 该函数值发生激烈震荡，不趋于任何数，所以 $sin(\frac{1}{x})$ 的极限不存在。