数论与代数几何作为数学的两个重要分支，各自拥有广泛的研究领域和问题分类。以下是对这两个领域问题分类的概述：

数论问题分类

数论是研究整数的性质的学科，它涵盖了多个方面的问题。按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。

初等数论：

整除理论：研究整数间的整除关系，包括质数、合数、因数分解、倍数、公约数（Common Divisor）、最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）、公倍数（Common Multiple）、最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）、互质（Relatively Prime）、整除性（Divisibility）、唯一分解定理（Unique Factorization Theorem）等概念。

同余理论：研究整数在模某个数下的性质，如同余方程、同余式、同余关系、模运算、同余类、剩余系、欧拉定理和费马小定理、中国剩余定理（孙子定理）、高次同余方程等。

连分数理论：研究实数的连分数表示及其性质，连分数的性质、逼近定理、有理数表示等。

不定方程：研究整数解的不定方程，如佩尔方程、如费马大定理等。

高等数论：

代数数论：研究整数、有理数、代数数等的性质，以及它们之间的代数关系。

代数整数与代数数：研究满足多项式方程的复数，特别是整数和有理数的代数性质。

类数与单位群：研究代数数域的类数和单位群，与代数数域的算术性质密切相关。

椭圆曲线与模形式：椭圆曲线在数论中的应用，包括其在密码学（如ECDSA、ECC）中的角色，以及与模形式的关系。

Galois理论与扩张：研究代数方程的根与对称性的关系，以及域的扩张和分裂域等。

解析数论：利用微积分、复分析等分析工具研究整数的性质，如素数分布、黎曼ζ函数等。

素数分布：素数定理、黎曼ζ函数、素数间隙等。

乘性数论：研究积性生成函数、素数分布、质数定理等。

加性数论：研究整数的加法分解，如华林问题、哥德巴赫猜想等。

计算数论：研究数论问题的算法和计算复杂性，如大数分解、素数测试等。

大数分解：RSA加密算法的基础，涉及复杂的算法如二次筛法、数域筛法等。

素数测试：快速判断一个大数是否为素数的算法，如Miller-Rabin素数测试。

离散对数问题：在有限域或椭圆曲线上求解离散对数的问题，与密码学密切相关。

数论中的具体问题还包括但不限于：

质数与合数的性质与判定

整数分解与质因数分解

同余方程的求解

欧拉函数与费马小定理的应用

丢番图方程的求解

素数定理与素数分布

代数几何问题分类

代数几何是研究多项式方程（特别是代数曲线和代数曲面）的解的几何性质的学科。它涉及多个层面的问题，包括但不限于：

代数簇：研究满足一组多项式方程的解的集合的性质。

曲线与曲面：研究特定次数和维度的代数曲线和代数曲面的分类和性质。

交点与奇点：研究代数曲线或曲面之间的交点以及曲线或曲面上的奇点。

拓扑性质：探讨代数簇的拓扑结构，如连通性、紧致性等。

复代数几何：在复数域上研究代数簇的性质，涉及复流形、霍奇理论等。

代数几何中的具体问题可能涉及具体的多项式方程、代数簇的构造与分类、曲线或曲面的性质研究等。

代数几何问题分类

代数几何主要研究多项式方程的解的几何性质，其问题分类可以从以下几个方面进行。

1. 基本概念与理论

代数簇：满足一组多项式方程的解的集合，包括仿射代数簇、射影代数簇等。

代数曲线与代数曲面：特定维度的代数簇，如直线、圆、椭圆曲线、双曲线、球面等。

交点与奇点：代数簇之间的交点以及代数簇上的奇点（如尖点、自交点等）。

2. 代数工具与方法

多项式与理想：利用多项式环和理想来研究代数簇的性质。

坐标环与函数域：通过坐标环和函数域来刻画代数簇的代数结构。

同调代数与层论：高级代数工具在代数几何中的应用，用于研究代数簇的复杂性质。

3. 特定领域与问题

复代数几何：在复数域上研究代数簇的性质，涉及复流形、霍奇理论等。

算术代数几何：将代数几何与数论相结合，研究代数簇上的算术性质，如数域上的代数曲线和代数曲面的有理点集。

代数几何编码理论：利用代数几何的方法构造纠错码，提高通信和存储的可靠性。

需要注意的是，数论与代数几何作为数学的两个独立分支，它们之间存在着深刻的联系和交叉。例如，代数数论就是数论与代数几何相结合的一个重要领域，它利用代数几何的工具和方法来研究数论中的问题。同时，代数几何也借助数论的理论和结果来深化自身的研究。这种交叉融合不仅推动了数学理论的发展，也为其他科学领域如物理学、工程学、计算机科学等提供了强有力的数学工具。