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线性规划问题的两类主要应用：

线性规划的数学模型的三要素：

线性规划的一般步骤：

  例1： 人数选择

 例2 ：任务分配问题 

例3: 饮食问题

线性规划模型 

线性规划的模型一般可表示为

线性规划的模型标准型：

例4.生产计划问题

非线性规划模型 

非线性规划问题的标准形式为：

非线性规划模型按约束条件可分为以下三类： 

⑴ 无约束非线性规划模型：

⑵ 等式约束非线性规划模型： 

⑶ 不等式约束非线性规划模型：

多目标规划模型 

 整数规划

动态规划 

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总结 

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专栏：数学建模学习笔记

线性规划（Linear Programming，简称LP）是运筹学的一个重要分支，主要研究在给定的约束条件下如何找到目标函数的最大值或最小值。线性规划在生产管理和经济活动中具有广泛应用，能够帮助我们合理地利用有限的资源以获得最佳的经济效益。

线性规划问题的两类主要应用：

1. 资源优化利用问题：如何在给定的任务下，合理安排资源，使得所需的人力和物力资源最少。
2. 任务最大化问题：在一定量的人力、物力资源下，如何安排使用这些资源，使得完成的任务（或创造的利润）最多。

线性规划的数学模型的三要素：

线性约束条件：列出若干个与自变量（未知量）相关的线性约束条件（等式或不等式）。这些约束条件通常表示资源的限制。

例如：

变量取值限制：

定义自变量 xj​ 的取值范围，可以是非负约束（如 xj​≥0），也可以是无限制取值。

例如：

 

目标函数：定义关于自变量的线性目标函数，目标是使其极大化或极小化。

例如：

其中，前两条称为可行条件，最后一条称为优化条件。符合这三个条件的数学模型通常称为线性规划的一般型（general form）。

线性规划的一般步骤：

1. 建立模型：将实际问题转化为线性规划模型，定义变量、目标函数和约束条件。
2. 求解模型：使用线性规划算法（如单纯形法、内点法等）求解模型，找到最优解。
3. 结果分析：对求解结果进行分析和解释，验证其在实际问题中的可行性和有效性。

通过线性规划方法，可以在各种实际问题中进行合理的资源分配和优化，为决策者提供科学的依据和支持。

  例1： 人数选择

某厂每日8 小时的产量不低于1800 件。为了进行质量控
制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：
速度25 件/ 小时，正确率98% ，计时工资4 元/ 小时；二级检验员
的标准为：速度15 件/ 小时 ，正确率95% ，计时工资3 元/ 小时。
检验员每错检一次，工厂要损失2 元。为使总检验费用最省，
该工厂应聘一级、二级检验员各几名？

解： 设需要一级和二级检验员的人数分别为x 1 、x 2 人 人,
则应付检验员的工资为：

因检验员错检而造成的损失为：

 故目标函数为：

约束条件为：

 线性规划模型：

 例2 ：任务分配问题 

某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两
台车床的可用台时数分别为800 和900 ，三种工件的数量分别
为 为400 、600 和500 ，且已知用两种不同车床加工单位数量不同
工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加
工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？

 解：
设在甲车床上加工工件1 、2 、3 的数量分别为x 1 、x 2 、x 3 ，
在乙车床上加工工件1 、2 、3 的数量分别为x 4 、x 5 、x 6 。
可建立以下线性规划模型：

例3: 饮食问题

 每人每天食用的食品中含有各种必需的营养素，
家庭主妇面临着一种抉择：如何采购食品，才能
在保证必需营养素最低需求量前提下花钱最少？
 这是典型的线性规划问题。
设有n 种食品供选择，m 种营养素应保证一定量。令： 

针对问题特点, 可列写线性规划数学模型如下：

(最低营养需求约束）

（自变量约束，食品量不会为负）

（目标函数，使购食品费用取最小值 ）

从上面例子中看出，列写线性规划数学模型的关键步聚为：
§ 根据问题性质，找出需求解的变量，即自变量。
§ 根据问题的限制因素或条件，列出自变量的取值限制及与自变量有关的线性约束条件（等式约束或不等式约束）。
§ 根据问题的目标要求，列出自变量有关的线性目标函数（极大值或极小值）。 

线性规划模型 

线性规划的模型一般可表示为

 注 线性规划的目标函数还可以用min来表示, 表示追求目标函数的最小值. 而 表示约束条件:
（Subject to）.线性规划的约束条件可以大于，小于，等于；最后可以统一成标准形式。

线性规划的模型标准型：

例4.生产计划问题

某厂在下一个生产周期内安排甲,乙两种产品的生产，生产单位产品所需的资源以及资源限制情况如表所示. 试问该厂应分别生产多少单位的甲、乙才能使得利润最大? 

非线性规划模型 

前面介绍了线性规划问题，即目标函数和约束条件都是线性函数的规划问题，但在实际工作中，还常常会遇到另一类更一般的规划问题，即目标函数和约束条件中至少有一个是非线性函数的规划问题，即非线性规划问题.

     事实上，客观世界中的问题许多是非线性的，给予线性大多是近似的，是在作了科学的假设和简化后得到的. 为了利用线性的知识，许多非线性问题常进行线性化处理. 但在实际问题中，有一些是不能进行线性化处理的，否则将严重影响模型对实际问题近似的可依赖型. 

     由于非线性规划问题在计算上常是困难的，理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁的结果形式和全面透彻的结论. 这点又限制了非线性规划的应用，所以，在数学建模时，要进行认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线性规划.

非线性规划问题的标准形式为：

非线性规划模型按约束条件可分为以下三类： 

⑴ 无约束非线性规划模型：

⑵ 等式约束非线性规划模型： 

⑶ 不等式约束非线性规划模型：

多目标规划模型 

      在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，例如设计一个导弹，既要射程最远，又要燃料最省，还要精度最高. 这一类问题统称为多目标最优化问题或多目标规划问题.

       线性规划研究的是一个线性目标函数，在一组线性约束条件下的最优问题。而实际问题中，往往需要考虑多个目标的决策问题，这些目标可能没有统一的度量单位，因此很难进行比较；甚至各个目标之间可能互相矛盾。目标规划能够兼顾地处理多种目标的关系，求得更切合实际的解。

        线性规划的约束条件不能互相矛盾，否则线性规划无可行解。而实际问题中往往存在一些相互矛盾的约束条件，目标规划所要讨论的问题就是如何在这些相互矛盾的约束条件下，找到一个满意解。

        线性规划的约束条件是同等重要，不分主次的，是全部要满足的“硬约束”。而实际问题中，多个目标和多个约束条件不一定是同等重要的，而是有轻重缓急和主次之分的，目标规划的任务就是如何根据实际情况确定模型和求解，使其更符合实际需要。

         线性规划的最优解可以说是绝对意义下的最优，为求得这个最优解，可能需要花费大量的人力、物力和才力。而在实际问题中，却并不一定需要去找这种最优解。目标规划所求的满意解是指尽可能地达到或接近一个或几个已给定的指标值，这种满意解更能够满足实际的需要。

        目标规划在实践中的应用十分广泛，它对各个目标分级加权与逐级优化的思想更符合人们处理问题要分别轻重缓急保证重点的思考方式。

 整数规划

在前面讨论的线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些问题，常要求解必须是整数(称为整数解)。例如，所求解是机器的台数、完成工作的人数或装货的车数等。v 为满足整数解的要求，初看起来，似乎只要把已得到的带有分数或小数的解经过“舍入化整”就可以了。但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解；或虽是可行解，但不一定是最优解。v 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。我们称这样的问题为整数线性规划(integerlinearprogramming)，简称ILP。

动态规划 

动态规划是求解多阶段决策过程最优化的数学方法，可把求解复杂问题的过程划分成相互联系的若干个阶段，每个阶段都是一个大大简化了的子问题，因而可以逐段从简求解而最终达到总体最优。
对于最短路线、库存管理、资源分配、生产调度、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划的方法比用其他方法求解更为方便。

总结 

       线性规划（Linear Programming, LP）是运筹学的一个重要分支，主要研究在给定约束条件  下找到目标函数的最大值或最小值。它广泛应用于生产管理和经济活动中，帮助合理利用有限资源以获得最佳经济效益。主要应用包括资源优化利用和任务最大化问题。

        线性规划的数学模型包括三个要素：线性约束条件、变量取值限制和目标函数。可行条件包括前两项，优化条件是目标函数。建立模型、求解模型、结果分析是线性规划的一般步骤。通过线性规划方法，可以实现科学的资源分配和优化。

           此外，实际问题中常涉及非线性规划，当线性近似误差较大时，需要考虑非线性规划。非线性规划按约束条件分为无约束、等式约束和不等式约束三类。多目标规划和整数规划也在实际应用中占有重要地位。